现代控制理论课后习题详解：状态空间与最优控制

现代控制理论是一门重要的工程学科，主要研究如何设计和分析系统以实现精确、高效和稳定的操作。该PDF文件是刘豹和唐万生编著的《现代控制理论》第三版的课后习题答案解析，涵盖了关键概念和技术，如状态空间分析法和最优控制。 在第一章的内容中，首先介绍了状态空间方法。状态空间分析是控制系统建模的一种基础工具，它将系统的动态行为用一组状态变量来表示，这些状态变量与系统的输入和输出之间存在线性关系。具体到题目1-1，要求读者根据给定的模拟结构图构建系统的状态空间模型。图1-27所示的系统包含多个环节，包括比例环节、积分环节、微分环节以及多个串联和并联连接，它们共同决定了系统的动态特性。通过计算和代数操作，将这些环节转换成状态方程的形式： 状态方程为： \[ \begin{bmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \\ \vdots \\ \dot{x_n} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + B \begin{bmatrix} u \end{bmatrix} \] 其中，\( A \)是系统矩阵，\( B \)是输入矩阵，\( x \)是状态向量，\( u \)是输入信号，\( \dot{x} \)代表状态变量对时间的导数。而输出方程则与状态向量和输出变量的关系有关，通常形式为： \[ y = C \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + D \begin{bmatrix} u \end{bmatrix} \] 其中，\( C \)是输出矩阵，\( y \)是输出信号。 题目1-2涉及的是电路系统的状态变量确定。在给定的电路图1-28中，输入电压\( u(t) \)驱动电路，状态变量可能包括电感中的电流和电容上的电压。通过应用基尔霍夫定律和电路理论，学生需要找到这些状态变量与输入和输出之间的数学关系，从而形成状态方程。这个过程需要理解电路元件的动态特性（如电感的积分性质和电容的存储特性），并将其转化为适合的状态空间模型。 通过解答这些问题，学生不仅能掌握状态空间分析的基本步骤，还能深入理解控制系统的设计原则和能控性、能观性的概念，即系统是否可以通过外部输入完全控制其状态或完全观测其状态。此外，书中的最优控制部分会探讨如何在满足性能指标的同时最小化某种成本或误差，这在实际工程应用中是非常实用的技巧，如在自动控制、航空航天等领域。 现代控制理论的学习不仅需要掌握理论知识，还要通过大量的习题练习来提高应用能力。这份课后答案解析为学习者提供了宝贵的实际操作参考，帮助他们更好地理解和掌握现代控制的核心原理。