Legendre-Petrov-Galerkin谱元法解三阶微分方程的高精度方法

本文主要探讨了三阶微分方程的Legendre-Petrov-Galerkin谱元方法在有限区间上的应用，这是一种高效的数值求解策略，特别是在处理复杂的偏微分方程时。该方法的核心在于构建满足试探函数空间（trial function space）和检验函数空间（test function space）的基函数，这些基函数通常来自于Legendre多项式或其他正交函数系，它们能够保证数值解的精确性和稳定性。 首先，作者从三阶微分方程出发，如定义在区间Λ（-1, 1）上的方程，其中包含未知函数的三次导数。他们采用Legendre-Petrov-Galerkin方法来离散化这个连续问题，这意味着将原问题转化为一组离散的线性代数方程。通过选择合适的基函数，如Legendre多项式，可以构造出一个稀疏的线性系统，这有利于简化求解过程并减少计算复杂度。 相比于其他数值方法，如配点法或有限差分法，Legendre-Petrov-Galerkin谱元法的优势在于它对复杂边界条件的适应性和高精度。然而，传统的配点法可能会因为配置点的选择不当导致数值不稳定，而对偶Petrov-Galerkin方法和Chebyshev方法则提供了不同的解决方案。尽管文献中已有对四阶微分方程谱方法和谱元法的研究，以及对KdV方程的多种求解尝试，但本文关注的是三阶微分方程的具体实现和优化。 本文的贡献在于提供了一种具体且实用的方法来处理三阶微分方程，特别是通过构建和求解相应的稀疏线性系统，使得数值实验验证了这种方法的有效性和高精度。与之前的研究相比，文章可能详细介绍了基函数的选择过程、离散化步骤以及如何处理边界条件，这些都是 Legendre-Petrov-Galerkin谱元法的关键组成部分。 这篇论文深入探讨了三阶微分方程的Legendre-Petrov-Galerkin谱元方法，展示了其在数值计算中的应用价值，对于从事偏微分方程数值解法研究的学者和工程师来说，提供了有价值的参考和实践指导。