图论学习：拓扑排序与最小生成树

"顺序扫描所有顶点的图论学习PPT，由刘汝佳lcy推荐，内容涉及图的遍历、邻接矩阵与邻接表、拓扑排序、最小生成树以及最大流等概念。" 在图论中，顺序扫描所有顶点是一种常见的遍历策略，用于访问图中的每一个节点。这段代码片段展示了一个简单的顺序遍历过程，通过检查每个顶点的访问状态（在这里使用D数组表示）来找到未被访问过的顶点，并执行深度优先搜索（DFS）以发现2-连通分量。在这个过程中，D[i]表示顶点i是否已被访问，low和S数组则用于记录DFS过程中的信息。 邻接矩阵和邻接表是两种常见的图数据结构。邻接矩阵适用于表示稠密图，即边的数量接近于顶点数量的平方，因为它存储了图中所有可能边的信息。然而，当图较为稀疏时，邻接表更节省空间，因为只存储实际存在的边。邻接表由一系列链表组成，每个链表对应一个顶点，并包含与其相邻的所有顶点，这使得查找效率更高。 拓扑排序是针对有向无环图（DAG）的一种排序方法，它将图中的顶点排列成一个线性的序列，使得对于图中的每条有向边 (u, v)，顶点u都在顶点v之前。这种排序不是唯一的，但有环图无法进行拓扑排序，因为它违反了拓扑排序的基本条件。 最小生成树问题在图论中占有重要地位，其目标是找到一个加权图的边子集，这个子集构成一棵树并且连接了所有的顶点，同时使得所有边的权重之和最小。普里姆算法（Prime）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal）是解决这个问题的两种经典算法。普里姆算法从一个顶点开始，每次添加与现有树连接的最小权重边，直到包含所有顶点。而克鲁斯卡尔算法则是逐步增加边，始终保持形成的边集合不形成环路，直至添加了n-1条边。 最大流问题旨在寻找网络中从源点到汇点的最大流量，这通常通过 Ford-Fulkerson 或 Dinic 算法解决。这类问题不仅测试对算法的理解，还考验如何将现实世界的问题转化为最大流模型。 此外，提到的回溯法在染色问题中常常被使用，例如给图的各个节点分配不同颜色，要求相邻节点颜色不同。回溯法可以帮助找出所有可能的合法颜色分配方案。 这篇PPT涵盖了图的遍历、图的存储结构、拓扑排序、最小生成树和最大流等核心图论概念，这些都是计算机科学特别是算法设计与分析中的基本工具。通过学习这些知识，可以提升对复杂网络问题的解决能力。