GAOR方法解线性互补问题：两种算法与收敛性分析

“GAOR方法解线性互补问题的两种算法 (2011年)” 线性互补问题（Linear Complementarity Problem, LCP）是优化理论中的一个重要课题，它涉及到寻找一组向量解，满足特定的线性关系和互补条件。在本文中，作者韩先丽、袁东锦、张士洋提出了基于GAOR（Generalized Accelerated Over Relaxation）方法的两种新算法来解决这类问题。GAOR方法是一种改进的迭代技术，用于加速求解线性系统的收敛速度。 线性互补问题的一般形式为LCP(M, q)，其中M是一个对称矩阵，q是一个向量，目标是找到一个非负向量z，满足Mz + q ≥ 0且z^(T)(Mz + q) = 0。这里的z^表示z的元素的最大值，即z_i^ = max{0, z_i}。LCPs在许多领域都有应用，包括经济学、工程优化、网络流问题等。 在 GAOR 方法之前，已有多种算法被提出，如BAI等人提出的松弛多重分裂算法，段班样等人的二级迭代和多重分裂并行算法，以及YUAN等人对AOR方法的修正。AOR（Accelerated Over Relaxation）方法是一种迭代方法，通过调整松弛因子来提高收敛速度。随后，LI等人将其扩展为更一般的AOR算法，而DEHGHAN等人则进一步发展了SSOR（Symmetric Successive Over Relaxation）算法。 本文的贡献在于，在LI等人工作的基础上，设计了两种新的迭代格式，进而构建了解决LCP的GAOR算法。这些算法不仅考虑了矩阵的特性，如M矩阵（其对角线元素非负，且所有子矩阵的主对角线元素之和非负）和H矩阵（其所有元素非负，且每个严格下三角子矩阵是半正定的），还证明了这两种新算法的收敛性定理。通过数值实验，作者验证了所提定理的正确性，展示了新算法在解决线性互补问题时的有效性和效率。 GAOR方法的优势在于，它能够根据问题的具体结构和性质动态调整松弛因子，以达到更快的收敛效果。这在处理大规模或复杂结构的线性互补问题时尤其有价值，因为它能够减少计算时间和迭代次数。 这篇论文为解决线性互补问题提供了新的工具，对于优化理论和计算数学领域具有重要的理论和实践意义。通过GAOR算法，研究者和工程师可以更有效地处理那些涉及线性互补问题的实际问题。