高维随机向量与马氏过程模拟：生成与算法详解

本文主要探讨了多维随机向量的模拟算法以及相关的马氏过程，包括随机向量生成和随机过程的模拟方法。在随机向量的生成部分，作者首先指出了当随机变量之间存在独立性时，可以通过简单地独立生成每个分量来实现。然而，当独立性条件不成立时，例如变量间存在马尔可夫性质，生成过程将更为复杂，需要借助转移概率矩阵，通过接受拒绝法进行。 作者以两个具体例子来说明这些方法。第一个例子是生成高维空间上的均匀分布，通过先在规则区域内按照建议分布生成随机点，然后判断该点是否落入目标区域，如果在内则输出，否则重试。这种方法的效率取决于随机点落入目标区域的概率。 第二个例子是生成n维单位球上的均匀分布，采用的是Cholesky分解或其他方法构造正交矩阵，通过迭代生成一组均匀分布在[-1,1]上的随机变量，并计算其范数平方和，当和小于1时，得到的随机向量就被映射到了单位球上。 随机向量的生成不仅仅是均匀分布，还涉及到径向对称随机变量的生成，这种变量在任何正交变换下保持其分布不变，这对于超球面的均匀分布模拟特别重要。通过严格径向对称的随机变量X除以其范数，可以得到单位球面上的均匀分布，这一理论被证明了其正确性。 马氏过程，如马尔可夫链、Poisson过程和跳过程的模拟，则是在随机向量生成的基础上，对时间序列随机变量的处理。这些过程在许多领域，如信号处理、金融建模和通信工程中都有广泛应用，它们的模拟需要考虑状态转移的概率分布和时间步长等因素。 这篇文章提供了一套实用的随机向量和马氏过程模拟方法，对于理解和应用多维随机现象的模拟分析具有重要意义，尤其在大数据和复杂系统建模中。