EM算法与高斯混合模型参数估计

"这篇文档介绍了如何使用EM算法求解高斯混合模型(GMM)，这是解决含有隐变量的数据聚类问题的一种常见方法。作者通过实验演示了EM算法在处理两个高斯分布混合数据集上的应用过程，以此验证算法的正确性。" 在机器学习和统计建模领域，EM算法（ Expectation-Maximization，期望最大化）是一种用于含有未观测或隐含变量的概率模型参数估计的有效方法。在高斯混合模型中，数据被认为是由多个高斯分布混合生成的，而这些分布的权重和参数（如均值和协方差）是我们想要估计的。 高斯混合模型假设数据点不是来自单一的分布，而是由K个不同的高斯分布随机组合而成。每个数据点x属于某个高斯分布的概率由混合权重P(Y=i)决定，而该点在给定高斯分布i下的概率密度则遵循正态分布N(μi, σi)。因此，整个数据集的联合概率分布可以表示为各个高斯分布的加权和。 EM算法的主要目标是最大化数据的边缘概率密度，即似然函数L(θ；X)，其中θ代表模型参数。由于存在隐变量Y，直接最大化似然函数通常是困难的。EM算法通过迭代E步和M步来解决这一问题： 1. E步（期望步骤）：在当前参数θ_t下，计算每个观测数据点x属于第i个高斯分布的后验概率P(Y=i|X=x, θ_t)。这个概率也被称为责任（responsibility）。 2. M步（最大化步骤）：基于E步得到的后验概率，更新参数θ，以最大化在当前责任分配下的似然函数。这包括更新每个高斯分布的均值μ，协方差Σ以及混合权重π。 实验过程中，作者首先生成了来自两个不同高斯分布的1维数据集，然后选择任意初始参数开始EM算法的迭代。通过不断执行E步和M步，算法会逐步接近最优参数。最后，将得到的参数与原始生成数据时的真实参数进行比较，以验证EM算法的正确实现。 为了直观展示数据分布，作者选择了1维数据，这使得可以通过绘制直方图轻松观察样本的分布特征。这种简化有助于理解数据的聚类结构，同时验证EM算法在处理这种问题时的性能和准确性。