矩阵方法求解Fibonacci数列的平方和

本文档探讨了Fibonacci数列的一种特殊构造方法，即利用矩阵来快速计算第n项。Fibonacci数列的传统定义为f[n]=f[n-1]+f[n-2]，其中f[1]=f[2]=1。文章引入了一种新的序列A(n)，其定义为A(0)=1, A(1)=1, A(n)=X*A(n-1)+Y*A(n-2) (对于n>=2)，其中X和Y是给定的整数，且2<=X,Y<=2^31-1。 在计算新序列中项的平方和S(n)=A(0)^2+A(1)^2+...+A(n)^2时，遇到了挑战。传统的递推方式不足以直接求解，因为S(n)的定义依赖于当前项的平方，而非仅前两项。为了处理这个问题，我们可以将问题转化为矩阵乘法的形式。 关键在于观察到S(n)与A(n)的关系可以通过矩阵表示。首先，注意到序列A(n)可以被表示为矩阵乘法的形式，即A(n)=[X,A(n-1);1,Y]*[A(n-1),A(n-2)]。这里，矩阵乘法的结果包含了前两项的乘积和平方项的组合。为了解决S(n)，我们需要构建一个更大的矩阵，它将包含A(n-1)^2, f(n-2)^2, 2xyf(n-1)f(n-2)等项。 具体来说，我们可以构造一个4x4的矩阵M，其中第一行是1,0,0,0，第二行是0,1,0,0，第三行是0,0,1,0，第四行是0,0,0,1。这样，通过连续的矩阵乘法，我们可以逐步累加S(n)的每一项，而这个过程可以用矩阵乘法的性质简化计算。例如，每次乘以矩阵M，相当于更新了S(n-2)、S(n-1)以及与f(n-1)和f(n-2)相关的项。 解题的关键在于利用矩阵的乘法规则，将递归问题转换为线性运算，从而降低时间复杂度。实际上，这涉及到动态规划中的“矩阵快速幂”算法，这是一种高效计算矩阵幂的技巧，特别是在处理指数级增长的问题时。在这个例子中，矩阵的幂次等于n，因此可以有效地避免计算量随着n的增加而呈指数增长。 在编程实现时，需要使用如C++或Java等语言的库函数来执行矩阵乘法，并且需要注意处理大整数溢出的问题，确保结果正确地除以模数10007并获取余数作为最终答案输出。 本文档的核心知识点是利用矩阵构造的方法，通过矩阵乘法快速求解Fibonacci序列的新变种序列A(n)项的平方和，涉及到了矩阵乘法、动态规划和大整数计算的技术。理解并掌握这种矩阵构造技巧，对于解决此类问题具有重要的理论和实践价值。