Euler图与Euler环游：性质与构造

在图论中，"环游"和"Euler图"是重要的概念。首先，我们来理解环游。在无向连通图G=(V,E)中，(1)环游是指一条路径，它至少经过图中的每条边一次，但不一定是闭合路径；(2)Euler环游则是指环游，它恰好经过每条边一次，是图中存在的一种特殊环游形式；(3)一个图如果存在Euler环游，则称该图为Euler图，这意味着图中所有顶点的度数都是偶数，因为每条边会被恰好访问两次；(4)Euler路则是仅经过每条边一次的路径，但它不一定形成闭合回路。 Euler环游与著名的汉密尔顿圈有着区别，后者是指一个图中包含所有顶点的闭合路径。Euler环游的存在性与图的结构紧密相关，由定理一可知，一个非空连通图G是Euler图当且仅当它没有奇数度的顶点，或者换句话说，其边集可以被划分成若干个圈。这表明，如果图满足这个条件，那么图中不仅存在Euler路，还能找到Euler环游。 值得注意的是，如果图有奇数个奇数度顶点，那么它不可能是Euler图，因为Euler环游需要每条边都被使用两次，这就意味着奇数度顶点会破坏这种平衡。非平凡连通图G拥有欧拉路的必要且充分条件是图中至多只有两个奇数度顶点，这也是中国邮递员问题（Chinese Postman Problem）的一个特殊情况，它关注的是寻找最短的路径，使得邮递员能够访问图中的所有边至少一次。 环游、Euler环游和Euler图是图论中关于路径和循环的重要研究对象，它们在解决实际问题如邮政配送优化等问题时具有显著的应用价值。理解和掌握这些概念有助于深入分析图的性质和结构，并在算法设计中发挥关键作用。