机器学习算法向量化实现：从线性回归到逻辑回归

"这篇文档是关于机器学习中算法公式的向量化实现的总结，主要涵盖了监督学习和无监督学习的一些核心算法，包括线性回归、逻辑回归、正则化逻辑回归、神经网络、主成分分析（PCA）、异常检测、推荐系统以及随机梯度下降等。" 在机器学习中，向量化(vectorization)是一种高效处理大规模数据的技术，它将数学表达式转化为矩阵运算，从而利用计算机硬件对数组操作的优化，显著提高计算速度。以下是对文档中提到的各个算法的向量化实现的详细说明： **1. 线性回归 (Linear Regression)** 线性回归模型的预测函数可以表示为 \( h_\theta(x) = \theta^T x \)，其中 \( \theta \) 是权重向量，\( x \) 是特征向量。向量化实现时，我们将所有样本的特征合并成一个大的矩阵 \( X \)（包括偏置项1），预测函数变为 \( h_\theta(X) = X \theta \)。损失函数 \( J(\theta) \) 为均方误差的一半，即 \( J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x_i) - y_i)^2 \)。梯度下降更新规则为 \( \theta := \theta - \frac{\alpha}{m} X^T(X\theta - y) \)，其中 \( \alpha \) 是学习率。 **2. 正则化线性回归 (Regularized Linear Regression)** 正则化线性回归在损失函数中添加了L2范数项来防止过拟合，即 \( J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x_i) - y_i)^2 + \frac{\lambda}{2m} \sum_{j=1}^{n} \theta_j^2 \)。向量化后，梯度 \( grad \) 包含了L2正则化的项，更新规则为 \( grad = \frac{1}{m} X^T(X\theta - y) + \frac{\lambda}{m} \theta \cdot vec1 \)，其中 \( vec1 \) 是全1向量，但第一个元素为0以避免正则化偏置项。 **3. 逻辑回归 (Logistic Regression)** 逻辑回归的预测函数通过Sigmoid函数 \( g(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \) 将线性组合转换为概率。向量化形式为 \( h_\theta(X) = g(X\theta) \)，损失函数 \( J(\theta) \) 是交叉熵，即 \( J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}(y_i \log(h_\theta(x_i)) + (1 - y_i) \log(1 - h_\theta(x_i))) \)。梯度 \( grad \) 为 \( grad = \frac{1}{m} X^T(h_\theta(X) - y) \)。 **4. 正则化逻辑回归 (Regularized Logistic Regression)** 正则化逻辑回归与线性回归类似，只是损失函数和梯度更新规则中加入了对Sigmoid函数的导数。 文档中的其他部分还提到了无监督学习的一些方法，如主成分分析（PCA）、异常检测、推荐系统和随机梯度下降等，这些算法的向量化实现也是机器学习领域的重要组成部分，它们通常涉及到矩阵运算、奇异值分解（SVD）以及梯度更新等技术。 向量化在实际应用中至关重要，因为它可以极大地提高代码的运行效率，特别是在大数据集上。通过理解并掌握这些算法的向量化实现，开发者能够更好地设计和优化机器学习模型，从而在各种任务中取得更好的性能。