2-连通图的最大亏格研究：直径3的图

"一类直径为3的2-连通图的最大亏格 (2004年)" 本文主要探讨的是图论中的特定一类2-连通图，其特征是具有直径为3。图论是数学的一个分支，研究点（顶点）和点之间连接（边）的结构。2-连通图是指在删除任意一个顶点后仍保持连通性的图，这表明这些图至少存在两条不相交的路径连接任意两个顶点。 作者王慧艳和刘彦佩在前人研究的基础上，对图G的结构进行了扩展，增加了点和边，构建出一类新的2-连通图G'，使得边数m与顶点数n之间满足关系m=2n-5。这个条件确保了这类图的直径为3，意味着图中任意两个顶点间的最短路径长度最多为3。 在图论中，Betti亏数ξ(G)是衡量图的连通性的一个量，它与图的生成树有关。生成树是图的一个子集，包含了图的所有顶点，但只包含足够连接所有顶点的最少边数。ξ(G,T)表示去掉生成树T的边后，剩余图的边数为奇数的连通分支数，而ξ(G)是最小的ξ(G,T)的值。衰变数ζ(G)则涉及图的所有余树（非生成树的边子集），是连通分支数c(G＼T)的最小值，且ζ(G)可以通过图的边数、顶点数和Betti数的关系来计算。 图的直径d(G)是图中任意两点间最大距离，圈秩数β(G)或Betti数是边数减去顶点数加1，它反映了图中可以形成闭合环的边的数量。在2-连通图G'中，通过计算ξ(G')和ζ(G')的范围，作者能够确定这类图的最大亏格，亏格是衡量图形在二维表面嵌入时的“洞”数量。 此外，文章还提到了2维闭曲面上的图嵌入问题，这涉及到图论和拓扑学的交叉领域。在可定向的2维闭曲面上，图的嵌入可以分析图的几何结构和拓扑性质，如面的数量和环的分布。 总结来说，这篇论文的核心在于研究了一类特殊的2-连通图，通过分析其Betti亏数和衰变数，得出了它们的最大亏格，这对于理解图的连通性、嵌入性质以及在图的理论和应用中有重要的意义。这类图的构造和属性分析对于网络设计、数据结构优化、通信网络等领域都有潜在的应用价值。