C++ 实现SOR超松弛迭代法求解数值逼近问题

本文档主要介绍了如何使用C++编程语言实现SOR（Successive Overrelaxation）超松弛迭代法来解决数值逼近问题。SOR方法是一种加速线性方程组求解的迭代算法，它在求解大规模稀疏矩阵时表现良好，适用于求解系统中的最小二乘问题。 首先，文档引入了两个模板函数：`Allocation2D` 和 `Allocation1D`，它们分别用于动态分配二维数组和一维数组。`Allocation2D`函数用于分配一个 (m x n) 的矩阵，而 `Allocation1D`则用于分配长度为n的一维数组，这两个函数在迭代过程中用于存储矩阵元素和变量值。 在`main`函数中，程序定义了常量`MAX`作为最大迭代次数，以及变量`n`表示矩阵的大小，`i`, `j`, `k`分别作为行、列索引，`x_0`和`x_k`用于存储初始猜测值和当前迭代解，`precision`表示精度要求，`w`是超松弛参数。 接下来，通过循环生成了一个具有特定规则的n x (n+1)矩阵`a`，包括边界条件（如对角线元素为6和1，上三角区域为22.5，其他为0），并设置了两组边界条件（a[0][n]和a[n-1][n]）。 在计算部分，程序初始化`x_0`为单位向量，然后开始SOR迭代过程。对于每一轮迭代，首先计算每个节点的临时值`temp`，这个值等于该节点左侧元素的加权和。然后更新`x_k`的值，将其设置为矩阵当前列的值减去`temp`，以求得新的近似解。接着再次计算`temp`，并继续迭代直到达到最大迭代次数`MAX`或者满足某个收敛条件。 需要注意的是，SOR方法通过调整超松弛参数`w`，可以在适当的情况下提高迭代速度，但必须确保`w`的取值在1到2之间，以保持算法的收敛性。 总结来说，这篇文档提供了使用C++编写SOR超松弛迭代法程序的基础代码框架，适用于数值线性方程组的求解，特别是在处理大型稀疏矩阵问题时，通过迭代优化求解策略，提高了求解效率。