有限体积元法与差分法详解

"有限体积元法电子版" 是一本详细阐述有限体积元法与差分法的书籍，探讨了这两种数值方法的差异及其在解决边值问题中的应用。 该书首先介绍了有限元法（Finite Element Method）和差分法（Difference Method），以Poisson方程为例，展示了它们在解决第一边值问题时的基本步骤。有限元法通过将复杂区域离散化为简单的元素，并在这些元素上构建和求解局部问题来逼近全局解。差分法则通过对连续函数进行离散化，用代数方程近似偏微分方程，通常包括一次元、二次元和三次元的差分格式。 接着，书中详细讲解了有限体积元法，也称为广义差分法，这种方法在国内外也被称为有限体积法（Finite Volume Method）。它的基本思想是通过积分守恒原理来构建离散方程，确保在整个计算域内的物理量（如质量、能量）保持一致。在处理边值问题时，有限体积法特别适合于处理有物理意义的通量和源项，因为它考虑了控制体积内部的平均值。 书中第二章深入讨论了两点边值问题，解释了有限体积法（广义差分法）的基本思想，包括变分原理、Galerkin方法以及如何构造广义差分方程。此外，还详细分析了一次元、二次元和三次元的差分格式，涉及试探函数空间、检验函数空间的定义，差分方程的建立，以及收敛性和收敛阶的估计。 第三章专注于二阶椭圆型方程，特别是在三角网格和四边形网格上应用广义差分法。这部分内容涵盖了试探函数空间和检验函数空间的选择，广义差分方程的构建，先验估计和误差估计，其中包括H1误差估计和L2误差估计，这些都是评估数值解精度的关键。 第四章则是实际应用部分，介绍了如何使用有限体积法解决椭圆型方程的混合问题，以及如何应用于Stokes方程的求解。这里特别提到了非协调有限体积法在三角形和矩形网格上的实现，展示了解决复杂流体力学问题的可能性。 "有限体积元法电子版" 提供了一个全面的教程，覆盖了有限元法、差分法和有限体积元法的核心概念，以及它们在实际问题中的应用。对于学习和研究数值方法，尤其是对解决边值问题感兴趣的读者来说，这本书是一个宝贵的资源。