Ridgelet变换：解决小波局限的新型多尺度分析方法

脊波和曲波变换是一种重要的信号处理工具，特别是在处理具有突出线性奇异性特征的自然图像时，传统的小波变换可能无法提供最佳的逼近效果。脊波变换，由Candes等人提出，针对这一问题给出了新的解决方案。该方法主要集中在Ridgelet变换上，这是一种特殊的多尺度分析工具，特别适用于检测和提取图像中的边缘和线性结构。 一维Ridgelet变换的核心在于构建一个在多维空间中基于单位球面的函数集。通过Fourier变换，可以将连续函数映射到频域，然后定义一元光滑函数ψ(t)，它满足一定的容许条件，如快速衰减和正交性。这个函数ψ(t)用于构造Ridgelet函数，其尺度参数a控制了频率分辨率，方向参数b指示了函数在空间中的定位，而γ则是基本函数生成元，生成一组面向特定方向的Ridgelet族。 图3-1展示了Ridgelet的不同形式，包括原函数、尺度变换和位置变换。例如，Marr小波被用于构建Ridgelet，其尺度和位置的变化分别对应图像的局部频率和位置特征。尺度变换使得Ridgelet能够捕捉不同长度的线性结构，而平移变化则允许检测图像中的边缘沿着不同的方向。 与小波变换相比，Ridgelet变换更侧重于线性特征的分析，这在诸如边缘检测、图像去噪、图像压缩等应用中具有显著优势。通过这种变换，可以有效地提取图像中的边缘信息，从而提高图像处理的精度和效率。因此，脊波和曲波变换是图像分析领域的关键技术，对于深入理解自然图像的结构以及设计更有效的图像处理算法具有重要意义。