根轨迹法：控制系统稳定性与参数关系分析

"自动控制原理第4章 根轨迹，主要讨论了根轨迹的概念和它在分析控制系统稳定性、暂态及稳态性能中的应用。通过举例和解析方法展示了根轨迹随开环增益K变化的过程，揭示了系统参数对闭环极点分布的影响。" 根轨迹是经典控制理论中的一个重要概念，它用于研究自动控制系统动态性能与系统参数之间的关系。这种方法由W.R.伊文思在1948年提出，通过分析特征方程的根在S平面上的轨迹，可以了解系统的稳定性、暂态响应和稳态响应特性。 在自动控制系统中，系统的稳定性由闭环极点的位置决定。当特征方程的根全部位于S平面的左半部分时，闭环系统被认为是稳定的。根轨迹法通过改变开环增益K，观察特征方程的根在S平面上的移动轨迹，从而分析系统在不同参数下的稳定性状态。 例如，一个系统的特征方程随着K的变化，其根在S平面上会描绘出一条轨迹。当K值从0增加到无穷大时，这些根的轨迹可以用来判断系统的性能。例如，如果在K=0时，特征根位于S平面上的原点和-1，随着K值增加，根轨迹会向左移动。当K=0.25时，特征根重合，系统处于临界阻尼状态；而当K>0.25时，特征根变成一对共轭复根，系统进入欠阻尼状态，产生衰减振荡的阶跃响应。 根轨迹不仅揭示了系统的稳定性，还提供了关于暂态性能的信息。例如，过阻尼系统（所有特征根为实部负的根）的阶跃响应是非周期的，临界阻尼系统则表现为阶跃响应无超调，而欠阻尼系统则会出现衰减振荡。 此外，根轨迹还能用于分析系统的稳态性能。例如，如果开环传递函数在原点有一个极点，那么系统被分类为I型系统，阶跃响应的稳态误差为0。 绘制根轨迹的依据是系统的开环传递函数H(S)和G(S)，通过它们构建的特征方程0 = 1 + H(S)G(S)。通过解析解和图解法，可以在S平面上标出不同K值对应的特征根位置，进而连接成根轨迹。 总结来说，根轨迹法是理解控制系统动态特性的强大工具，通过分析根轨迹，工程师可以设计和调整系统参数以优化系统的稳定性和性能指标。