2022北大算法设计期末试题：矩阵幂、动态规划与贪心算法详解

本资源是一份北京大学信息科学技术学院的算法设计方案与分析课程2022年期末考试试卷，主要考察学生对算法设计和分析的基础理论以及实践应用的理解。试卷分为两大部分：填空题和单项选择题，涵盖了多方面的知识点。 1. **填空题部分**： - 使用矩阵幂求解斐波那契数列，涉及矩阵乘法在算法中的应用，该方法的时间复杂度是O(log n)。 - 动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，要求问题满足这些特性，并且有大量子问题可以重用计算结果。 - 贪心法通常应用于满足贪心选择性质（每一步选择局部最优，期望达到全局最优）的问题，同时需要证明这种策略的正确性。 - 对于n个栈操作序列，最坏情况下的运行时间可能取决于操作类型，但平摊分析考虑所有可能情况的平均性能，涉及三种不同的平摊分析方法（如最坏情况、平均情况和期望情况）。 - 四色问题的搜索空间是一个完全图（K4），0-1背包问题搜索空间是决策树（决策树模型），巡回售货员问题搜索空间是旅行商问题的解决方案空间（通常是带权有向图）。 - 求解解空间树的两种方法的区别在于：回溯法寻找所有满足约束的解，而分支限界法则寻找满足约束的最优解，或者在解集中找到最优解。 2. **单项选择题部分**： - 评估了排序算法的时间复杂性：A选项正确指出堆排序在最坏情况下的时间复杂度是O(nlog n)，B选项正确说明快速排序平均情况下的时间复杂度也是O(nlog n)，C选项强调排序算法最差情况的时间复杂度至少是O(nlog n)，D选项错误，因为插入排序在最好情况（已排序数组）下的时间复杂度是O(n)。 这份试卷要求学生深入理解算法的基本原理、设计决策、时间和空间复杂性的分析，以及常见问题的解决策略，如动态规划、贪心法、栈操作的效率分析，以及搜索算法的分类和区别。通过解答这些问题，学生将展示他们对算法设计和分析的理论知识和实际应用能力。