B样条小波框架下的散乱数据重构与噪声处理

"本文主要探讨了基于B样条小波框架的方法在散乱数据重构中的应用，特别是在处理混合或未知类型噪音的信号重构问题。文章提出了一种变分模型，并利用增广拉格朗日乘子法和加速近端梯度下降法进行求解，同时对模型解的Lp范数误差进行了分析。通过数值实验，验证了该方法的有效性，并与现有的变分模型进行了比较。" 在信号处理和图像恢复等领域，B样条小波框架因其对光滑和局部震荡函数的有效表示，以及在时间-频率域的局部化特性，而被广泛应用。面对从包含高斯、泊松、混合或未知类型噪音的散乱数据中重构原始信号的挑战，本文提出了一种创新性的解决方案。原始信号f是一个在Rd上的未知连续函数，其采样值受到分布在特定区域Ω上的噪音εi影响。 传统的信号重构方法如多项式插值（如拉格朗日多项式、牛顿多项式或三次样条插值）在处理大量样本或有噪音数据时，可能会出现不稳定性（如龙格现象）和计算复杂性问题。为了解决这些问题，文章引入了基样条函数，如三次基样条，构建了一个基于样条小波框架的空间，寻找逼近函数f*，以尽可能接近采样值yi，同时减少由噪音引起的全局影响。 提出的变分模型利用B样条小波框架，通过增广拉格朗日乘子法和加速近端梯度下降法求解，这有助于优化问题的求解效率。此外，文章还对模型解的Lp范数误差进行了理论分析，这是评估重构质量的关键指标。通过数值实验，该方法在重构噪音数据上的性能得到了验证，并与其它变分模型进行了对比，证明了其在处理散乱数据重构问题上的优势和实用性。 这项工作为散乱数据的信号重构提供了一种新的、有效的方法，特别是在面临复杂噪音环境时，对于提高信号处理的准确性和可靠性具有重要意义。这种方法不仅适用于光学通信、图像处理、机器学习等领域的实际问题，而且在地球物理信号分析和生物医学影像等科学领域也有广阔的应用前景。