中国矿业大学19级矩阵论期末考试试题解析

"中国矿业大学19级矩阵论期末考试真题包含了矩阵论的重要知识点，如线性变换、矩阵表示、向量坐标、QR分解、Singular Value Decomposition (SVD)、行简行圆等。题目涉及了矩阵在基变换下的表示、向量在特定基下的坐标计算以及正交投影矩阵的求解。" 这篇真题中的知识点详解如下： 1. **线性变换与基的表示**： - 线性变换在不同基下的表示通常涉及矩阵的坐标变换。题目中提到的线性变换T将基向量α转换为基向量β，要求求出T在原基下的矩阵表示。这需要用到坐标变换公式，将新基下的坐标转换为原基下的坐标，从而得到变换矩阵。 2. **矩阵表示**： - 第一题中，通过已知的基向量α和它们在新基β下的映射，可以构建一个变换矩阵A，使得对于任何向量v，有T(v) = A * v。 3. **向量坐标**： - 第一题的第二部分，要求求出向量ξ在新基α下的坐标，这可以通过解线性方程组完成，即将ξ表示为基向量的线性组合。 4. **正交投影矩阵**： - 第二题涉及的是在R³中找到一个向量x在由两个向量β和α张成的空间L以及其正交补L⊥上的正交投影。首先需要求出L的基，然后构造正交投影矩阵P，使得P * x是x在L上的投影，(I - P) * x是x在L⊥上的投影。 5. **正交基与正交投影**： - 在R³中，如果两个向量是正交的，那么可以通过它们构成一组基来求解正交投影矩阵。这通常涉及到Gram-Schmidt过程，通过该过程可以将任意一组基转化为正交基，并据此计算正交投影矩阵。 6. **QR分解和奇异值分解(SVD)**： - 虽然这些方法在描述中被提及，但在这份真题的具体题目中没有直接应用到。QR分解常用于求解线性系统和化简矩阵，SVD则在降秩、逆矩阵求解和图像处理等领域有广泛应用。 复习矩阵论时，考生应熟练掌握以上知识点，尤其是线性变换的表示、向量坐标计算以及正交投影的求解，因为这些都是矩阵论考试中的常见题型。通过历年真题的练习，可以加深理解并熟悉考试的出题模式。