自动控制原理第四章：根轨迹法详解

“自控原理第四章——根轨迹法，自学最佳教程，东北大学《自动控制原理》课程组编著，内容包括根轨迹的基本概念、绘制法则、系统暂态特性的分析及与性能指标的关系。” 根轨迹法是自动控制原理中的一个重要概念，主要用于分析线性定常系统的动态性能。这种方法由美国工程师伊文思（W.R.Evans）在1948年提出，它是一种通过图解方式来研究闭环系统特征根（即闭环极点）随开环传递函数参数变化的轨迹，从而直观地揭示系统动态行为的方法。 根轨迹的基本概念： 根轨迹是指当开环传递函数的参数（如增益K）变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上的运动轨迹。这个轨迹可以帮助我们理解系统稳定性、响应速度和超调量等关键性能指标。对于一个给定的系统，其根轨迹由开环传递函数的零点和极点决定。 根轨迹的绘制法则： 1. 开环传递函数的零点和极点是根轨迹的起点和终点。 2. 实轴上的根轨迹段由奈奎斯特定理（Nyquist stability criterion）确定。 3. 角度条件（相角法则）规定了根轨迹在复平面上的转折角度。 4. 幅值条件（幅值法则）决定了根轨迹离开或接近实轴的位置。 根轨迹的分析应用： 根轨迹法不仅可以用于分析系统的稳定性，还可以分析系统的暂态性能。通过观察根轨迹在复平面上的分布，可以判断系统是否稳定，以及闭环极点随着参数变化的趋势。例如，如果根轨迹的某一分支穿过虚轴进入右半平面，那么系统将变得不稳定。此外，根轨迹的形状与超调、上升时间和调整时间等性能指标密切相关。 主导极点和偶极子的概念： 在根轨迹分析中，主导极点通常指对系统动态响应影响最大的极点，而偶极子则是由一对极点和零点构成的组合，它们对根轨迹的形状有显著影响。利用这些概念，可以对系统的性能进行近似分析，简化复杂系统的分析过程。 学习根轨迹法的重点在于： - 理解根轨迹的基本特性，如定义和作用。 - 掌握根轨迹的分类原则，识别不同类型的根轨迹。 - 熟练运用根轨迹的绘制法则，能够根据给定的开环传递函数绘制出根轨迹图。 - 应用主导极点和偶极子等概念分析系统的动态性能。 - 了解根轨迹形状与系统性能指标之间的关系，如稳定性、响应速度和超调量等。 根轨迹法是控制系统设计和分析中的有力工具，通过学习和掌握这一方法，工程师可以更好地理解和优化系统的动态行为，从而实现更高效、更稳定的控制系统设计。