图数据结构与应用详解

"图及其应用.pptx" 图是数据结构中的一个重要概念，它是由顶点的集合和这些顶点之间边的集合组成。在图G中，V代表顶点的集合，E代表边的集合，通常表示为G(V, E)。顶点之间通过边建立多对多的关系，这种关系被称为邻接。例如，如果顶点A和B之间有边AB，那么A和B就是邻接顶点。 无向图是图的一种类型，其中任意两个顶点之间的边没有特定的方向。这意味着(vi, vj)属于E时，v1和v2可以互换，表示两者之间的连接是双向的。无向完全图则是每个顶点都与其他所有顶点通过边相连的无向图，它含有n(n-1)/2条边。 有向图则相反，边具有方向性，如v1v2表示从v1到v2的一条有向边，v1为弧尾，v2为弧头。有向完全图是每对顶点之间都有两条方向相反的弧，总共有n(n-1)条弧。 顶点的度是衡量顶点连接边数的量。在无向图中，顶点的度等于与其关联的边的数量。而在有向图中，区分入度（指向顶点的边数）和出度（从顶点出发的边数）。 简单路径是指从起点到终点，中间经过的顶点不重复出现的路径。子图是原图的一部分，包含在原图的顶点子集和边子集中，且边仅连接这些子集内的顶点。 连通性和连通图是图的重要特性。在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在路径，则称图是连通的。连通图的子图，如果包含了图中所有顶点且仅包含足以构成一棵树的n-1条边，那么这个子图被称为生成树。 图的存储方法主要包括邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵使用二维数组来表示图，矩阵的每个元素表示对应顶点之间是否存在边。对于无向图，矩阵是对称的；对于有向图，矩阵可能不对称。邻接表则是为每个顶点维护一个列表，列表中包含与其相邻的所有顶点，节省空间效率，尤其在稀疏图中更为适用。 图的应用广泛，如网络路由、社交网络分析、计算机算法设计（如Dijkstra算法、Prim算法等）以及许多实际问题的建模。理解并掌握图的概念和操作对于理解和解决许多复杂问题至关重要。