数字信号处理：从DTFT到DFT的理解与应用

"该资源是关于《数字信号处理》（第三版）的课程内容，主要讲解了由离散时间傅立叶变换（DTFT）到离散傅立叶变换（DFT）的过程，以及数字信号处理的基础知识，包括数字信号处理的特性、时域离散信号和时域离散系统的概念，还有单位阶跃信号和单位冲激信号的定义、性质及其应用。" 在数字信号处理中，离散时间傅立叶变换（DTFT）是将离散时间信号转换到连续频率域的工具。然而，为了实现离散频率的分析，我们需要对时间序列进行周期延拓。对于长度为M的有限长序列x(n)，如果选择N作为周期（N≥M），则可以在频域上得到离散的表示，这就是离散傅立叶变换（DFT）的基础。DFT仅适用于有限长序列或周期序列，因为它对时间域中的信号进行了周期化处理。 数字信号处理具有显著的优势，如灵活性、高精度、高稳定性和易于大规模集成。这些特性使得数字信号处理在许多领域，如通信、图像处理、音频处理等，得到了广泛应用。此外，数字信号处理还可以实现一些模拟系统难以实现的功能。 在第一章中，介绍了时域离散信号和时域离散系统的基本概念。时域离散信号是通过数值计算方法处理的信号，其主要类型包括时域连续信号、模拟信号、时域离散信号和数字信号。时域离散系统的特性，如线性、时不变性、因果性和稳定性，是理解和设计系统的关键。 单位阶跃信号和单位冲激信号是信号分析中的基本元素。单位阶跃信号ut(t)在t=0时由0跃升至1，而延时的单位阶跃信号表示为ut(t-t0)，其在t=t0时刻从0变为1。单位冲激信号，又称狄拉克δ函数，是一个理论上的信号，它在任何地方都为0，但在t=0处无穷大，且其在整个时间轴上的积分等于1。冲激信号的这些特性使其在信号处理中扮演着重要的角色，例如在滤波器设计、信号分析和系统响应计算中。 冲激信号具有抽样性、奇偶性、比例性和卷积性质等重要特性。这些性质使得冲激函数在数学推导和工程计算中极其有用，比如它可以用来表示无限窄的脉冲，也可以用作其他信号的抽样表示。 这个课程内容涵盖了数字信号处理的核心概念，从基本的信号定义和分类，到DTFT与DFT的关系，再到基础的信号分析工具，如单位阶跃和单位冲激信号，为深入学习和应用数字信号处理提供了坚实的基础。