马尔可夫信源与二阶马尔可夫链解析-面试题解答

"这篇资料是关于阿里巴巴Android面试题集中的信息论相关题目及答案解析，主要涉及到了bit/符号的计算以及马尔可夫信源的相关知识。" 在信息论中，bit/符号是一个衡量信源编码效率的指标，表示每个符号平均携带的信息量。在给定的描述中，我们可以看到一个具体的例子来计算这个值。首先，我们有信源X的概率分布为X={x1, x2, x3}，它们对应的概率分别是P(x1) = 8/24, P(x2) = 8/24, P(x3) = 8/24。然后，对于每一个x_i，它能生成的符号Y={y1, y2, y3}有不同的概率分布，比如当X=x1时，Y的分布是P(y1|x1) = 7/24, P(y2|x1) = 1/24, P(y3|x1) = 0，以此类推。 要计算X的信息熵（H(X)），我们使用公式H(X) = -∑[P(x_i) * log2(P(x_i))]。对于X，我们得到H(X) = -[(8/24 * log2(8/24)) + (8/24 * log2(8/24)) + (8/24 * log2(8/24))]，简化后为2.3 bit/符号。 接下来，我们需要计算条件熵H(Y|X)，即已知X的情况下Y的熵。对于每个x_i，我们计算条件熵H(Y|X=x_i)，然后取其加权平均。例如，H(Y|X=x1) = -[(7/24 * log2(7/24)) + (1/24 * log2(1/24)) + (0 * log2(0))]，对于其他x2和x3也做同样计算。最后，将这些条件熵乘以相应的P(x_i)并求和，得到H(Y|X)。再用H(X)减去H(Y|X)得到联合熵H(X,Y)，这里H(X,Y) = H(X) - H(Y|X)，计算结果为1.58 bit/符号。 另一方面，描述中还提到了Y的独立熵H(Y)，Y的概率分布为P(y1) = 8/24, P(y2) = 8/24, P(y3) = 8/24。按照同样的熵计算公式，我们得到H(Y) = -[(8/24 * log2(8/24)) + (8/24 * log2(8/24)) + (8/24 * log2(8/24))]，简化后为0.72 bit/符号。 在马尔可夫信源的问题中，涉及到的状态转移概率和稳态概率计算。马尔可夫信源是一个状态依赖的信源，其中每个符号的出现概率不仅取决于它自身，还取决于前一个或前几个符号。对于给定的马尔可夫信源，我们首先绘制状态图，然后通过构建状态转移矩阵来找到稳态概率。这通常涉及到解决一组线性方程组，确保概率的总和为1。 在第二个马尔可夫链问题中，我们有两个二元状态u1和u2，以及一个基于当前和前两个符号的转移概率。通过列出所有可能的转移情况和对应的概率，我们可以构建一个2x2的状态转移矩阵，并解出稳态概率。 这些题目涉及了信息熵、条件熵、联合熵和马尔可夫信源的基本概念，这些都是信息论中的核心知识点，对于理解通信系统的效率和编码理论至关重要。在面试中，对这些概念的深入理解和应用能力体现了候选人在信息论方面的专业水平。