数值分析第五章：最佳平方逼近与最小二乘法

该资源是关于数值分析课程的第五单元作业，主要涉及函数逼近、范数、最佳平方逼近和最小二乘法等概念。作业中包含了解决具体问题的步骤和计算过程，以及通过Matlab编程实现的实验过程。 在这个作业中，第一道题目要求在区间[-1, 1]上寻找一个子空间Φ，该子空间由四个多项式基函数生成，即φ₀(t) = t^0, φ₁(t) = t^1, φ₂(t) = t^2, φ₃(t) = t^4。目标是找到这个子空间中最佳平方逼近多项式，使得它与给定函数ft的均方误差最小。通过计算各个基函数的内积和函数ft与基函数的内积，可以构建一个法方程并求解，得到多项式的系数。解出的系数分别是c₀ = 0.1171875, c₁ = 1.640625, c₂ = -0.8203125，因此最佳平方逼近多项式为y(t) = 0.1171875t^2 + 1.640625t - 0.8203125。均方误差可以通过比较多项式近似值与实际值的差的平方和求平均来计算，这里给出的结果是0.051031036307983。 第二道题目涉及到最小二乘法的应用。给出了五组实验数据(t, y)，任务是找到一个二次多项式y = ax^2 + bx，通过最小二乘法拟合这些数据。最小二乘法的基本思想是找到一组系数a和b，使得所有数据点(t, y)到曲线y = ax^2 + bx的垂直距离平方和最小。在这个例子中，可以设置线性系统的矩阵形式并求解，或者使用数值优化方法如梯度下降或正规方程，以找到最佳的a和b值。具体解的过程没有给出，但通常会涉及到构建误差向量和最小化残差平方和。 通过Matlab代码（pr5_1.m文件）可以实现这些计算，并可视化拟合结果。这不仅锻炼了数值计算的能力，也强调了理论知识与实践应用的结合。 总结起来，这份作业涵盖了数值分析中的关键概念，包括函数逼近、最佳平方逼近多项式以及最小二乘法。它要求学生运用这些知识解决实际问题，如构建多项式模型以近似给定数据，以及计算逼近误差。同时，也鼓励学生通过编程实现这些数学方法，加深理解。