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首页同济五版线性代数:关键习题答案详解
同济五版线性代数:关键习题答案详解
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更新于2024-07-30
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本资源是关于线性代数的同济大学第五版教材习题答案,主要涵盖的是第一章行列式的内容。章节的重点推荐练习题包括第5题的第2小题和第5小题,以及第7题和第8题的第2部分。这些习题旨在帮助读者理解和掌握行列式的计算方法和性质。 在提供的答案中,首先介绍的是三阶行列式的计算方法。第1题要求计算一个包含数值的行列式,通过对角线法则(即乘以对角线上元素的乘积再减去跨对角线元素的乘积之和),得出结果为-4。这种法则对于快速计算简单的行列式非常实用。 第2题涉及的是一个具有变量的行列式,通过展开并简化表达式,得到3abc - a^3 - b^3 - c^3,展示了如何处理带有变量的行列式,这在解决含有未知数的问题时尤为重要。 第3题的行列式同样使用了类似的方法,得到(a - b)(b - c)(c - a),这表明当行列式的元素为多项式时,可以通过因式分解来简化计算,并揭示出它们之间的关系。 第4题是关于两个变量x和y的三阶行列式,通过完全展开并合并同类项,最后得出-2(x^3 + y^3),这展示了如何处理涉及多个变量的行列式,特别是当它们表示多变量函数时,行列式的值可能与变量的特定关系有关。 此外,还提到第2题的自然数排列的逆序数,但具体细节并未给出,这可能是另一部分的内容,可能涉及到排列组合理论和行列式在这些概念中的应用。 这份习题答案提供了深入理解线性代数中行列式概念、计算技巧以及应用实例,有助于学习者提升解题能力和理论素养。对于准备备考、自学者或者希望巩固基础的学生来说,这是极有价值的参考资料。
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14 第一章 行列式
8 . 用克莱姆法则解下列方程组:
(1)
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 5,
x
1
+ 2x
2
− x
3
+ 4x
4
= −2,
2x
1
− 3x
2
− x
3
− 5x
4
= −2,
3x
1
+ x
2
+ 2x
3
+ 11x
4
= 0;
解:
D =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1 1
1 2 −1 4
2 −3 −1 −5
3 1 2 11
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1 1
0 1 −2 3
0 −5 −3 −7
0 −2 −1 8
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1 1
0 1 −2 3
0 0 −13 8
0 0 −5 14
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1 1
0 1 −2 3
0 0 −1 −54
0 0 0 142
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −142.
D
1
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 1 1 1
−2 2 −1 4
−2 −3 −1 −5
0 1 2 11
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 1 −1 −10
0 5 −5 −18
−2 −3 5 28
0 1 0 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 −1 −10
0 −5 −18
−2 5 28
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 −1 −10
−4 0 10
23 0 −22
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −142;
D
2
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 5 1 1
1 −2 −1 4
2 −2 −1 −5
3 0 2 11
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 5 1 1
0 −7 −2 3
0 −12 −3 −7
0 −15 −1 8
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 5 1 1
0 −1 3 2
0 0 23 11
0 0 39 31
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 5 1 1
0 −1 3 2
0 0 −1 −19
0 0 0 −284
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −284;
D
3
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 5 1
1 2 −2 4
2 −3 −2 −5
3 1 0 11
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −426; D
4
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1 5
1 2 −1 −2
2 −3 −1 −2
3 1 2 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 142.
所以,
x
1
=
D
1
D
= 1 , x
2
=
D
2
D
= 2 , x
3
=
D
3
D
= 3 , x
4
=
D
4
D
= −1.
(2)
5x
1
+ 6x
2
= 1,
x
1
+ 5x
2
+ 6x
3
= 0,
x
2
+ 5x
3
+ 6x
4
= 0,
x
3
+ 5x
4
+ 6x
5
= 0,
x
4
+ 5x
5
= 1.
解: 系数行列式
D
5×5
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 6
1 5 6
1 5 6
1 5 6
1 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
展开c
1
====== 5D
4×4
−
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
6 0 0 0
1 5 6 0
0 1 5 6
0 0 1 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 5D
4×4
− 6
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 6 0
1 5 6
0 1 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 5D
4×4
− 6D
3×3
.
由递归式 D
5×5
= 5D
4×4
− 6D
3×3
知,
D
3×3
= 5D
2×2
− 6D
1×1
= 5(25 − 6) − 6 × 5 = 65,
D
4×4
= 5D
3×3
− 6D
2×2
= 5 × 65 − 6 × 19 = 211,
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线性代数 (同济四版) 习题参考答案 15
D
5×5
= 5D
4×4
− 6D
3×3
= 5 × 211 − 6 × 65 = 665.
又
D
1
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 6 0 0 0
0 5 6 0 0
0 1 5 6 0
0 0 1 5 6
1 0 0 1 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
展开c
1
====== D
4×4
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
6 0 0 0
5 6 0 0
1 5 6 0
0 1 5 6
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= D
4×4
+ 6
4
= 211 + 6
4
= 1507.
D
2
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 1 0 0 0
1 0 6 0 0
0 0 5 6 0
0 0 1 5 6
0 1 0 1 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
展开c
2
======
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 6 0 0
0 5 6 0
0 1 5 6
0 0 1 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ (−1)
5+2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 0 0 0
1 6 0 0
0 5 6 0
0 1 5 6
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
展开c
2
====== −D
3×3
− 5 × 6
3
= −65 − 1080 = −1145.
D
3
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 6 1 0 0
1 5 0 0 0
0 1 0 6 0
0 0 0 5 6
0 0 1 1 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
展开c
3
====== (−1)
1+3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 5 0 0
0 1 6 0
0 0 5 6
0 0 1 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ (−1)
5+3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 6 0 0
1 5 0 0
0 1 6 0
0 0 5 6
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
展开c
2
====== D
2×2
− 6 × 6 × D
2×2
= 703.
D
4
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 6 0 1 0
1 5 6 0 0
0 1 5 0 0
0 0 1 0 6
0 0 0 1 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
展开c
4
====== (−1)
1+4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 5 6 0
0 1 5 0
0 0 1 6
0 0 0 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ (−1)
5+4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 6 0 0
1 5 6 0
0 1 5 0
0 0 1 6
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
展开c
4
====== −5 − 6D
3×3
= −5 − 6 × 65 = −395.
D
5
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 6 0 0 1
1 5 6 0 0
0 1 5 6 0
0 0 1 5 0
0 0 0 1 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
展开c
5
====== (−1)
1+5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 5 6 0
0 1 5 6
0 0 1 5
0 0 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
5 6 0 0
1 5 6 0
0 1 5 6
0 0 1 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 1 + D
4×4
= 1 + 211 = 212.
所以,
x
1
=
1507
665
, x
2
= −
1145
665
, x
3
=
703
665
, x
4
= −
395
665
, x
5
=
212
665
.
9 . 问 λ, µ 取何值时, 齐次线性方程组
λx
1
+ x
2
+ x
3
= 0,
x
1
+ µx
2
+ x
3
= 0,
x
1
+ 2µx
2
+ x
3
= 0.
有非零解?
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/3558323/bg12.jpg)
16 第一章 行列式
解: 系数矩阵
D =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
λ 1 1
1 µ 1
1 2µ 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
r
3
−r
1
=====
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
λ 1 1
1 µ 1
0 µ 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= µ(−1)
3+2
¯
¯
¯
¯
¯
λ 1
1 1
¯
¯
¯
¯
¯
= µ(1 − λ).
要使齐次线性方程组有非零解, 则 D = 0, 即
µ(1 − λ) = 0,
得 µ = 0 或 λ = 1.
10 . 问 λ 取何值时, 齐次线性方程组
(1 − λ)x
1
−2x
2
+ 4x
3
= 0,
2x
1
+ (3 − λ)x
2
+ x
3
= 0,
x
1
+ x
2
+ (1 − λ)x
3
= 0.
有非零解?
解: 系数矩阵
D =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 − λ −2 4
2 3 − λ 1
1 1 1 − λ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
c
2
−c
1
=====
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 − λ −3 + λ 4
2 1 − λ 1
1 0 1 − λ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 1 × (−1)
3+1
¯
¯
¯
¯
¯
−3 + λ 4
1 − λ 1
¯
¯
¯
¯
¯
+ (1 − λ)(−1)
3+3
¯
¯
¯
¯
¯
1 − λ −3 + λ
2 1 − λ
¯
¯
¯
¯
¯
= (λ − 3) − 4(1 − λ) + (1 − λ)
3
− 2(1 − λ)(−3 + λ)
= (1 − λ)
3
+ 2(1 − λ)
2
+ λ − 3
= λ(λ − 2)(3 − λ).
齐次线性方程组有非零解, 则 D = 0, 即
λ(λ − 2)(3 − λ) = 0.
得 λ = 0, λ = 2 或 λ = 3.
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/3558323/bg13.jpg)
第二章 矩阵及其运算
1 . 已知线性变换:
x
1
= 2y
1
+ 2y
2
+ y
3
,
x
2
= 3y
1
+ y
2
+ 5y
3
,
x
3
= 3y
1
+ 2y
2
+ 3y
3
,
求从变量 x
1
, x
2
, x
3
到变量 y
1
, y
2
, y
3
的线性变换.
解: 方法一. 用消元法解方程, 得出 y
1
, y
2
, y
3
. 略.
方法二. 解矩阵方程. 由已知:
x
1
x
2
x
3
=
2 2 1
3 1 5
3 2 3
y
1
y
2
y
2
,
故
y
1
y
2
y
2
=
2 2 1
3 1 5
3 2 3
−1
x
1
x
2
x
3
=
−7 −4 9
6 3 −7
3 2 −4
y
1
y
2
y
3
.
即
y
1
= −7x
1
− 4x
2
+ 9x
3
,
y
2
= 6x
1
+ 3x
2
− 7x
3
,
y
3
= 3x
1
+ 2x
2
− 4x
3
.
方法三. 用克拉默法则解方程. 系数矩阵
D =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 2 1
3 1 5
3 2 3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
c
1
−2c
3
======
c
2
−2c
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 0 1
−7 −9 5
−3 −4 3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 1.
所以,
y
1
=
1
D
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
1
2 1
x
2
1 5
x
3
2 3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= x
1
¯
¯
¯
¯
¯
1 5
2 3
¯
¯
¯
¯
¯
− x
2
¯
¯
¯
¯
¯
2 1
2 3
¯
¯
¯
¯
¯
+ x
3
¯
¯
¯
¯
¯
2 1
1 5
¯
¯
¯
¯
¯
= −7x
1
− 4x
2
+ 9x
3
;
同理得 y
2
= 6x
1
+ 3x
2
− 7x
3
, y
3
= 3x
1
+ 2x
2
− 4x
3
.
2 . 已知两个线性变换
x
1
= 2y
1
+ y
3
,
x
2
= −2y
1
+ 3y
2
+ 2y
3
,
x
3
= 4y
1
+ y
2
+ 5y
3
,
y
1
= −3z
1
+ z
2
,
y
2
= 2z
1
+ z
3
,
y
3
= −z
2
+ 3z
3
,
求从 z
1
, z
2
, z
3
到 x
1
, x
2
, x
3
的线性变换.
解: 方法一. 直接代入. 比如:
x
1
= 2y
1
+ y
3
= 2(−3z
1
+ z
2
) + (−z
2
+ 3z
3
)
= −6z
1
+ z
2
+ 3z
3
.
17
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![-](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
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