MATLAB 在热力学中的应用：固体热容量模型

MATLAB 在热学中的应用 §4.5 固体热力学性质的 MATLAB 应用 在热学中，固体热容量是热力学系统的一个重要响应函数。经典理论曾用能量均分定理讨论了晶体在高温情况下的热容量，成功地解释了杜隆-珀替定律。但是，经典理论不能说明低温下热容量随温度的降低而减小，以及它是系统特征量这两个实验事实。 4.5.1 固体热容量的三种模型 热容量是热力学系统的一个重要响应函数。 MATLAB 可以用于处理固体热容量的三种模型：经典模型、爱因斯坦模型和德拜模型。 （1）固体热容量的经典模型－杜隆-珀替定律 按照经典理论，由 N 个原子或离子组成的固体可视为 3N 个相互独立的经典线性谐振子的集合。由能量均分定理，每个线性谐振子的能量为 kT，固体的内能为 U=3NkT，热容量为 Cv=3Nk。 MATLAB 程序可以用于计算经典固体的热容量： syms V h beta N k T mu omega r gamma p; d=beta/2/mu; e=beta*mu*omega^2/2; zp=2/(d)^(1/2)*int(exp(-p^2),0,inf); zr=2/(e)^(1/2)*int(exp(-r^2),0,inf); Zv=zp*zr/h; % 振动配分函数 Uv=-3*N*diff(log(Zv),beta); beta=1/k/T; Uv1=eval(simplify(Uv)); % 内能 Cv=diff(Uv1,T); % 热容量 运行结果为： Zv=2/(beta/mu)^(1/2)*pi/(beta*mu*omega^2)^(1/2)/h Uv1=3*N*k*T Cv=3*N*k 实验表明，杜隆-珀替定律在固体的温度较高时与测量结果符合，但在常温和低温下与实验结果严重不符。 （2）固体热容量的爱因斯坦模型 爱因斯坦模型是基于量子概念的固体热容量模型。 MATLAB 可以用于计算爱因斯坦模型的热容量： syms h nu k T; E=h*nu; Zv=sum(exp(-E/k/T)); Uv=-k*T*log(Zv); Cv=diff(Uv,T); （3）固体热容量的德拜模型 德拜模型是基于量子概念的固体热容量模型。 MATLAB 可以用于计算德拜模型的热容量： syms h nu k T; E=h*nu; Zv=sum(exp(-E/k/T)); Uv=-k*T*log(Zv); Cv=diff(Uv,T); MATLAB 是一个强大的工具，可以用于处理固体热容量的三种模型，并可以计算固体热容量的值。