使用Haar小波求解一维对流扩散方程的数值方法

"本文主要探讨了一维对流扩散方程的Haar小波数值解法，通过数值实验验证了这种方法的高效性。Haar小波因其分段常值、正交性和简明表达等特点在解决偏微分方程中得到应用，尽管其光滑性不足，但通过构建积分运算矩阵可以克服这一限制。" 对流扩散方程是一种在物理、化学、工程等领域广泛使用的数学模型，用于描述物质或能量在流动过程中的扩散和传输现象。例如，在气候模型、热传导、流体动力学中都能找到它的身影。一维对流扩散方程如文中所给出的，是研究此类问题的基本工具。 Haar小波，由Alfred Haar在早期20世纪提出，是一种基本的小波函数类型。它的特点是具有简单的结构，由分段常数函数构成，这使得计算和实现相对简单。Haar小波的正交性意味着它们在适当的空间内是线性无关的，这在数值分析和信号处理中非常有用。然而，由于其非连续性和缺乏光滑性，直接使用Haar小波进行偏微分方程的数值解可能会导致精度问题。 为了解决这个问题，Chen等人引入了基于Haar小波的积分运算矩阵。这种矩阵能够有效地处理Haar小波的不连续性，通过矩阵运算来近似原问题的解，从而提高数值解的精度。这种方法已被应用于常微分方程的求解，通过类似的矩阵操作可以转换为线性代数问题，进一步通过数值线性代数技术来求解。 在本文中，作者郭慧君和王晋茹提出了一种针对一维对流扩散方程的Haar小波数值解法，并通过数值实验验证了该方法的有效性。实验结果表明，尽管Haar小波自身存在光滑性不足的问题，但通过适当的数学框架和算法设计，仍能有效地应用于对流扩散方程的数值解算，为实际问题的求解提供了新的途径。 这篇论文的研究工作集中在利用Haar小波的特性，结合数值方法，解决了对流扩散方程的数值求解问题，为工程和技术领域的实际应用提供了理论支持。同时，这也反映了小波分析在处理复杂问题时的灵活性和实用性，尤其是在处理非光滑数据或问题时的优势。