PCA在高等教育评价中的应用-主成分分析与MATLAB实践

"基于主成分分析法的综合评价-omap-l138中文数据手册" 主成分分析法（Principal Component Analysis，PCA）是一种统计学方法，用于处理多维度数据，通过线性变换将原始数据转化为一组各维度线性无关的表示，从而减少数据的复杂性，同时尽可能保留数据集中的原始信息。这种方法特别适用于发现数据集的主要结构和降低数据的维度，尤其当不同变量之间存在高度相关性时。 在本资料中，高等教育发展状况的评价涉及五个方面的十项指标，如每十万人口高等院校毕业生数、招生数、在校生数、教职工数和专职教师数等。这些指标可能具有一定的相关性，直接使用可能导致评价结果受重复信息的影响，不够客观。主成分分析可以解决这个问题，它将多个指标转换为少数几个不相关的主成分，使得每个主成分都包含原始数据的不同信息贡献。 表7展示了主成分分析的结果，其中特征根代表了每个主成分所解释的方差比例，贡献率则反映了每个特征根对于总方差的贡献。可以看到，前两个特征根的累计贡献率超过90%，表明这两个主成分几乎解释了数据的大部分变异。通常，会选择累计贡献率达到一定阈值（例如85%或更高）的主成分来进行后续的分析和评价。在本例中，选取前四个主成分，其累计贡献率达到了98%，这意味着这四个主成分几乎完全捕捉到了原始数据的主要信息。 接下来，利用这些主成分进行综合评价。特征向量对应于每个主成分的方向，它们描述了原始指标如何在新构建的主成分空间中组合。表8列出了前四个特征根对应的特征向量，这些向量可以用来计算每个评价对象在新坐标系下的得分，进而进行综合评分和比较。 数学建模算法是解决复杂问题的有效工具，包括线性规划、整数规划、非线性规划和动态规划等。线性规划用于优化线性目标函数，在线性约束条件下找到最优解；整数规划则扩展了线性规划，允许决策变量为整数，增加了问题的复杂性和现实性；非线性规划处理目标函数或约束条件为非线性的情况；动态规划则用于解决多阶段决策过程，通过优化每个阶段的决策来最大化或最小化整个过程的效益。 在本案例中，主成分分析属于预处理步骤，它帮助简化数据并提取关键信息，为后续的建模和决策提供基础。结合其他数学建模算法，如线性规划或整数规划，可以进一步优化高等教育发展的评价体系，以实现更准确、更全面的评估。通过这样的方法，政策制定者和研究者能够更好地理解和改善高等教育系统的表现。