Toro's Third Edition: Riemann Solvers & Practical CFD Techniques for Unsteady Flows

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《Toro, Eleuterio F. 流体动力学中的黎曼求解器与数值方法》第三版是一本全面、连贯且实用的教材，专注于高分辨率上风向和中心差分方法在工程与科学领域的应用，其中以计算流体动力学（CFD）为主导。该书旨在让读者掌握这些技术的基本概念，理解其理论基础，并有能力批判性地评价相关研究论文。作者深入浅出地讲解了黎曼求解器的核心原理，以及它们如何在各种流体动力学问题中发挥作用，包括但不限于可压缩流、定常与非定常流动、反应性流、粘性和非粘性流以及自由表面流。书中特别强调了黎曼求解器在实际工程中的直接应用，其广泛适用于解决复杂的流体动力学问题，无论是稳态还是瞬态，无论是涉及化学反应还是没有反应的流体。作者对前两版进行了全面修订，在基础理论和实践应用部分都增添了新的内容，使读者能更好地理解和实现这些方法。本书结构清晰，从黎曼问题的起源和基本概念开始，逐步深入到具体求解算法的设计和优化，如Godunov方法、 Roe解法和HLLC/HLLD方法等。此外，还涵盖了数值稳定性分析、网格生成技术、并行计算策略以及误差控制技巧等关键要素，确保读者能够将所学知识转化为实际的代码实现。对于那些希望在CFD领域深入研究或从事相关工作的工程师、科学家和研究生来说，这是一本不可或缺的参考书籍。它不仅提供了理论基础，而且通过大量的示例和练习，帮助读者提升解决实际问题的能力。《Toro, Eleuterio F. 流体动力学中的黎曼求解器与数值方法》第三版是追求流体动力学高级分析与计算技术的专业人士不可多得的工具书。

XVIII Contents

7 Random Choice and Related Methods .....................237

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.2 RCM on a Non–Staggered Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

7.2.1 The Scheme for Non–Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

7.2.2 Boundary Conditions and the Time Step Size . . . . . . . . . 243

7.3 A Random Choice Scheme of the Lax–Friedrichs Type . . . . . . . 244

7.3.1 Review of the Lax–Friedrichs Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7.3.2 The Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.4 The RCM on a Staggered Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7.4.1 The Scheme for Non–Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7.4.2 A Deterministic First–Order Centred Scheme (force) . 247

7.4.3 Analysis of the force Scheme ......................249

7.5 RandomNumbers .......................................250

7.5.1 Van der Corput Pseudo–Random Numbers . . . . . . . . . . . 250

7.5.2 Statistical Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

7.5.3 Propagation of a Single Shock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.6 NumericalResults .......................................255

7.7 ConcludingRemarks.....................................256

8 Flux Vector Splitting Methods .............................265

8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

8.2 The Flux Vector Splitting Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8.2.1 Upwind Diﬀerencing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8.2.2 The FVS Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

8.3 FVS for the Isothermal Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

8.3.1 Split Fluxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

8.3.2 FVS Numerical Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.4 FVS Applied to the Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8.4.1 Recalling the Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

8.4.2 The Steger–Warming Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

8.4.3 The van Leer Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

8.4.4 The Liou–Steﬀen Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

8.5 NumericalResults .......................................280

8.5.1 Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

8.5.2 Results for Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

8.5.3 Results for Test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

8.5.4 Results for Test 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

8.5.5 Results for Test 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

8.5.6 Results for Test 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

9 Approximate–State Riemann Solvers ......................293

9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

9.2 The Riemann Problem and the Godunov Flux . . . . . . . . . . . . . . 294

9.2.1 Tangential Velocity Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

9.2.2 Sonic Rarefactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Contents XIX

9.3 Primitive Variable Riemann Solvers (PVRS) . . . . . . . . . . . . . . . . 297

9.4 Approximations Based on the Exact Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

9.4.1 A Two–Rarefaction Riemann Solver (TRRS) . . . . . . . . . . 301

9.4.2 A Two–Shock Riemann Solver (TSRS) . . . . . . . . . . . . . . . 303

9.5 AdaptiveRiemannSolvers................................304

9.5.1 An Adaptive Iterative Riemann Solver (AIRS) . . . . . . . . 304

9.5.2 An Adaptive Noniterative Riemann Solver (ANRS) . . . . 305

9.6 NumericalResults .......................................306

10 The HLL and HLLC Riemann Solvers .....................315

10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

10.2 The Riemann Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

10.2.1 The Godunov Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

10.2.2 Integral Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

10.3 The HLL Approximate Riemann Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

10.4 The HLLC Approximate Riemann Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

10.4.1 Useful Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

10.4.2 The HLLC Flux for the Euler Equations . . . . . . . . . . . . . 324

10.4.3 Multidimensional and Multicomponent Flow . . . . . . . . . . 326

10.5 Wave–Speed Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

10.5.1 Direct Wave Speed Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

10.5.2 Pressure–Based Wave Speed Estimates . . . . . . . . . . . . . . . 329

10.6 Summary of HLLC Fluxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

10.7 Contact Waves and Passive Scalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

10.8 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

10.9 Closing Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

11 The Riemann Solver of Roe ...............................345

11.1 Bases of the Roe Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

11.1.1 The Exact Riemann Problem and the Godunov Flux. . . 346

11.1.2 Approximate Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

11.1.3 The Approximate Riemann Problem and the Intercell

Flux.............................................349

11.2 The Original Roe Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

11.2.1 The Isothermal Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

11.2.2 The Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

11.3 The Roe–Pike Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

11.3.1 The Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

11.3.2 The Isothermal Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

11.3.3 The Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

11.4 An Entropy Fix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

11.4.1 The Entropy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

11.4.2 The Harten–Hyman Entropy Fix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

11.4.3 The Speeds u

∗

, a

∗L

, a

∗R

...........................370

11.5 Numerical Results and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

XX Contents

11.5.1 The Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

11.5.2 The Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

11.6 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

12 The Riemann Solver of Osher ..............................377

12.1 Osher’s Scheme for a General System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

12.1.1 Mathematical Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

12.1.2 Osher’s Numerical Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

12.1.3 Osher’s Flux for the Single–Wave Case . . . . . . . . . . . . . . . 381

12.1.4 Osher’s Flux for the Inviscid Burgers Equation . . . . . . . . 383

12.1.5 Osher’s Flux for the General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

12.2 Osher’s Flux for the Isothermal Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

12.2.1 Osher’s Flux with P–Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

12.2.2 Osher’s Flux with O–Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

12.3 Osher’s Scheme for the Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

12.3.1 Osher’s Flux with P–Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

12.3.2 Osher’s Flux with O–Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

12.3.3 Remarks on Path Orderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

12.3.4 The Split Three–Dimensional Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

12.4 Numerical Results and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

12.5 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

13 High–Order and TVD Methods for Scalar Equations ......413

13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

13.2 Basic Properties of Selected Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

13.2.1 Selected Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

13.2.2 Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

13.2.3 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

13.3 WAF–Type High Order Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

13.3.1 The Basic waf Scheme.............................420

13.3.2 Generalisations of the waf Scheme ..................423

13.4 MUSCL–Type High–Order Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

13.4.1 Data Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

13.4.2 The MUSCL–Hancock Method (MHM) . . . . . . . . . . . . . . 429

13.4.3 The Piece–Wise Linear Method (PLM) . . . . . . . . . . . . . . . 432

13.4.4 The Generalised Riemann Problem (GRP) Method . . . . 434

13.4.5 Slope–Limiter Centred (slic)Schemes ...............436

13.4.6 Other Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

13.4.7 Semi–Discrete Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

13.4.8 Implicit Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

13.5 Monotone Schemes and Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

13.5.1 Monotone Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

13.5.2 A Motivating Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

13.5.3 Monotone Schemes and Godunov’s Theorem . . . . . . . . . . 447

13.5.4 Spurious Oscillations and High Resolution . . . . . . . . . . . . 448

Contents XXI

13.5.5 Data Compatibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

13.6 Total Variation Diminishing ( TVD) Methods . . . . . . . . . . . . . . . 451

13.6.1 The Total Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

13.6.2 TVD and Monotonicity Preserving Schemes . . . . . . . . . . 453

13.7 Flux Limiter Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

13.7.1 TVD Version of the waf Method ...................456

13.7.2 The General Flux–Limiter Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

13.7.3 TVD Upwind Flux Limiter Schemes. . . . . . . . . . . . . . . . . 469

13.7.4 TVD Centred Flux Limiter Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . 474

13.8 Slope Limiter Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

13.8.1 TVD Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

13.8.2 Construction of TVD Slopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

13.8.3 Slope Limiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

13.8.4 Limited Slopes Obtained from Flux Limiters . . . . . . . . . . 484

13.9 Extensions of TVD Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

13.9.1 TVD Schemes in the Presence of Source Terms . . . . . . . 486

13.9.2 TVD Schemes in the Presence of Diﬀusion Terms . . . . . 486

13.10Numerical Results for Linear Advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

14 High–Order and TVD Schemes for Non–Linear Systems . . . 493

14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

14.2 CFL and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

14.3 Weighted Average Flux (waf) Schemes ....................496

14.3.1 The Original Version of waf ........................496

14.3.2 A Weighted Average State Version . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

14.3.3 Rarefactions in State Riemann Solvers . . . . . . . . . . . . . . . 499

14.3.4 TVD Version of waf Schemes.......................501

14.3.5 Riemann Solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

14.3.6 Summary of the waf Method.......................503

14.4 The MUSCL–Hancock Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

14.4.1 The Basic Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

14.4.2 A Variant of the Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

14.4.3 TVD Version of the Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

14.4.4 Summary of the MUSCL–Hancock Method . . . . . . . . . . . 510

14.5 Centred TVD Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

14.5.1 Review of the force Flux..........................512

14.5.2 A Flux Limiter Centred (flic)Scheme...............512

14.5.3 A Slope Limiter Centred (slic)Scheme ..............514

14.6 Primitive–Variable Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

14.6.1 Formulation of the Equations and Primitive Schemes . . 515

14.6.2 A waf–Type Primitive Variable Scheme . . . . . . . . . . . . . . 517

14.6.3 A MUSCL–Hancock Primitive Scheme . . . . . . . . . . . . . . . 520

14.6.4 Adaptive Primitive–Conservative Schemes . . . . . . . . . . . . 522

14.7 Some Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

14.7.1 Upwind TVD Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

XXII Contents

14.7.2 Centred TVD Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

15 Splitting Schemes for PDEs with Source Terms ............531

15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

15.2 Splitting for a Model Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

15.3 Numerical Methods Based on Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

15.3.1 Model Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

15.3.2 Schemes for Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

15.4 Remarks on ODE Solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

15.4.1 First–Order Systems of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

15.4.2 Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

15.4.3 Implementation Details for Split Schemes . . . . . . . . . . . . . 540

15.5 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

16 Methods for Multi–Dimensional PDEs .....................543

16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

16.2 Dimensional Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

16.2.1 Splitting for a Model Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

16.2.2 Splitting Schemes for Two–Dimensional Systems . . . . . . 545

16.2.3 Splitting Schemes for Three–Dimensional Systems . . . . . 547

16.3 Practical Implementation of Splitting Schemes in Three

Dimensions .............................................549

16.3.1 Handling the Sweeps by a Single Subroutine . . . . . . . . . . 549

16.3.2 Choice of Time Step Size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

16.3.3 The Intercell Flux and the tvd Condition . . . . . . . . . . . . 552

16.4 Unsplit Finite Volume Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

16.4.1 Introductory Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

16.4.2 Accuracy and Stability of Multidimensional Schemes . . . 558

16.5 A Muscl–Hancock Finite Volume Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

16.6 WAF–Type Finite Volume Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

16.6.1 Two–Dimensional Linear Advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

16.6.2 Three–Dimensional Linear Advection . . . . . . . . . . . . . . . . 567

16.6.3 Schemes for Two–Dimensional Nonlinear Systems . . . . . 570

16.6.4 Schemes for Three–Dimensional Nonlinear Systems . . . . 573

16.7 Non–Cartesian Geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

16.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

16.7.2 General Domains and Coordinate Transformation . . . . . 575

16.7.3 The Finite Volume Method for Non–Cartesian Domains 578

17 Multidimensional Test Problems ...........................585

17.1 Explosions and Implosions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

17.1.1 Explosion Test in Two–Space Dimensions . . . . . . . . . . . . 587

17.1.2 Explosion Test in Three Space Dimensions . . . . . . . . . . . . 590

17.2 Shock Wave Reﬂection from a Wedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

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