数值分析实验:非线性方程求解(二分法与牛顿法)
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更新于2024-08-04
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"该资源是哈工大数值分析2020年秋研究生的上机实验,涵盖了非线性方程组求解的几种方法,包括二分法、牛顿法、割线法、改进的牛顿法和拟牛顿法。其中,二分法被用来求解方程sin(x) - pow(x,2)/2 = 0在(1,2)区间内的根,要求误差ε为0.5*10^(-5)。"
在数值分析中,非线性方程的求解是一项基础且重要的任务。这个实验中涉及了多种算法,首先介绍的是二分法,这是一种基于连续性定理和介值定理的搜索方法。在给定的代码中,二分法用于求解方程sin(x) - pow(x,2)/2 = 0的根。这个方程在区间(1,2)内有且仅有一个实根,因为sin(x)在该区间内单调且与-x^2/2相交。在算法中,设定了初始边界a=1和b=2,以及允许的误差delta=0.5*10^(-5),然后通过迭代寻找满足误差要求的解。
接着是牛顿法,这是一种迭代求解非线性方程的高效方法。在实验中,牛顿法被应用于三个不同方程的求解,每个方程都有一个初始值。牛顿法的基本思想是通过迭代公式x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n)来逼近方程的根,其中f'(x_n)是f(x)在x_n处的导数。在代码中,定义了允许的误差delta和最大迭代次数N,然后通过符号函数syms和定义的函数原型来实现牛顿法的通用化。
除了二分法和牛顿法,实验还提到了割线法、改进的牛顿法和拟牛顿法。割线法类似于牛顿法,但使用了切线的替代物——割线,来近似函数的局部线性化。改进的牛顿法通常指的是采用线性搜索或者二分搜索来调整步长,以确保迭代过程的稳定性和收敛性。拟牛顿法则是一种更高级的方法,它不直接计算函数的导数,而是利用函数值的序列来构造近似Hessian矩阵,以实现对高维问题的有效求解。
这个实验资源旨在让学生熟悉和掌握非线性方程的数值解法,通过编程实现这些方法,加深对它们的理解和应用。这些方法不仅在理论学习中有价值,在实际工程和科研问题中也经常被用到。
2022-08-08 上传
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