数值分析实验：非线性方程求解（二分法与牛顿法）

"该资源是哈工大数值分析2020年秋研究生的上机实验，涵盖了非线性方程组求解的几种方法，包括二分法、牛顿法、割线法、改进的牛顿法和拟牛顿法。其中，二分法被用来求解方程sin(x) - pow(x,2)/2 = 0在(1,2)区间内的根，要求误差ε为0.5*10^(-5)。" 在数值分析中，非线性方程的求解是一项基础且重要的任务。这个实验中涉及了多种算法，首先介绍的是二分法，这是一种基于连续性定理和介值定理的搜索方法。在给定的代码中，二分法用于求解方程sin(x) - pow(x,2)/2 = 0的根。这个方程在区间(1,2)内有且仅有一个实根，因为sin(x)在该区间内单调且与-x^2/2相交。在算法中，设定了初始边界a=1和b=2，以及允许的误差delta=0.5*10^(-5)，然后通过迭代寻找满足误差要求的解。 接着是牛顿法，这是一种迭代求解非线性方程的高效方法。在实验中，牛顿法被应用于三个不同方程的求解，每个方程都有一个初始值。牛顿法的基本思想是通过迭代公式x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n)来逼近方程的根，其中f'(x_n)是f(x)在x_n处的导数。在代码中，定义了允许的误差delta和最大迭代次数N，然后通过符号函数syms和定义的函数原型来实现牛顿法的通用化。 除了二分法和牛顿法，实验还提到了割线法、改进的牛顿法和拟牛顿法。割线法类似于牛顿法，但使用了切线的替代物——割线，来近似函数的局部线性化。改进的牛顿法通常指的是采用线性搜索或者二分搜索来调整步长，以确保迭代过程的稳定性和收敛性。拟牛顿法则是一种更高级的方法，它不直接计算函数的导数，而是利用函数值的序列来构造近似Hessian矩阵，以实现对高维问题的有效求解。 这个实验资源旨在让学生熟悉和掌握非线性方程的数值解法，通过编程实现这些方法，加深对它们的理解和应用。这些方法不仅在理论学习中有价值，在实际工程和科研问题中也经常被用到。