东南大学数值分析上机练习：牛顿迭代法与误差控制

在东南大学的数值分析课程上机实践中，两个习题涉及到不同的数值求解方法和精度控制。第一个习题涉及的是计算级数和的近似值，通过牛顿迭代法（S1）和超松弛迭代法（S2），以及一个简化的公式（S3）来估算特定序列的和。这个程序展示了随着数值n增大，不同方法的精度表现差异，尤其是当n达到较大值（如1000000）时，S1和S2的结果出现溢出，导致错误。结论是，当精度要求较低时，从大数开始累加的S1不如从小数累加到大数的S2稳定。第二个习题则更侧重于迭代法求解方程的收敛性，设定了一个误差限制为0.5e-6，通过调整迭代参数（delta），使得当delta取大约0.7745966时，所有迭代得到的根都能收敛到0。这个部分强调了误差控制和迭代算法的有效性，以及如何确保算法的正确性。 在实际编程中，牛顿迭代法是一种常用的方法，它利用函数的导数来逼近零点，适用于连续可微的函数。而超松弛迭代则是对牛顿迭代的一种改进，通过调整步长因子来提高收敛速度，但在某些情况下可能会引入新的不稳定因素。这两个习题让学生了解了在处理数值问题时，不仅需要掌握基本算法，还要注意精度控制、溢出问题以及迭代过程中的收敛性。 对于数值分析而言，理解这些迭代方法的性能及其局限性至关重要，尤其是在处理大规模数据或需要高精度结果的应用场景中。同时，习题中提到的试算和误差控制也是优化算法设计的关键环节，能够帮助学生在实际项目中避免计算错误并提高计算效率。通过这样的上机实践，学生可以将理论知识与实际编程结合起来，提升自己的问题解决能力。