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AI4S global outlook
2022 Edition
1.1.3 AI4S 的数学原理：机器学习对高维函数的有效拟合
近年来以机器学习，尤其是深度神经网络为代表的 AI 技术发展为上述问题的提供了解决思路[4]。AI 技术在 21
世纪得到迅猛发展，并广泛应用于包括图像识别、语音识别、推荐系统等各个领域，为人类的生产与生活带
来巨大变化。机器学习所取得的一系列成就，从其本质上是成功求解了一系列的数学问题。
我们来看机器学习两个最典型的问题：
l 监督学习（supervised learning）问题，本质是基于一个训练集 S，给出目标函数的一个高效逼近。例如
在图像分类问题中，人们假设存在一个真实函数能够将图像数据准确映射到图像的类别信息（比如将图像
进行猫狗分类）。训练数据集是该“真实函数”的准确表现，机器学习就是要通过不断训练逼近这个“真实函
数”，从而进行准确的图像分类。
l 无监督学习（unsupervised learning）问题，本质是利用有限样本逼近并采样一个未知的概率分布。例如
在人脸生成（利用 AI 算法自动生成人脸）问题中，“人脸”是随机变量，而我们不知道它的概率分布。然
而，我们有“人脸”的样本：数量巨大的人脸照片。我们便利用这些样本，近似得到“人脸”的概率分布，并
由此产生新的样本（即生成人脸）。
实际上这些问题都是计算数学领域的经典问题，这些问题之所以长时间没有解决，就是受到“维度灾难”的影
响。机器学习的成功告诉我们，高维问题中深度神经网络的表现明显优于经典算法。
对于大量的高维函数，使用深度神经网络进行逼近时，逼近误差的速率与维数无关。因此，机器学习是处理
高维问题的有效工具。我们可以使用机器学习方法处理大量传统科学计算方法无法解决的问题，比如随机控
制问题、求解非线性抛物方程问题等。将机器学习方法应用到科学研究中，将有机会系统性解决传统科学研
究中遇到的问题，AI4S 应运而生。
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