主成分分析法解析：三个关键问题探析

"对主成分分析法三个问题的剖析——许淑娜1" 主成分分析法（PCA）是一种广泛应用的多元统计分析技术，旨在通过线性变换将一组可能相关的变量转换成一组线性不相关的变量，即主成分。这种方法在经济学、生物学、地球科学等多个领域都发挥着重要作用。本文作者许淑娜和李长坡针对教学中学生常遇到的关于PCA的三个困惑进行了深入剖析。 首先，文章解释了为何主成分系数是经过标准差标准化后的原始变量的协方差矩阵的特征向量。这是因为PCA的目标是找到一个新的坐标系统，其中新坐标轴是原始数据集方差最大的方向。当原始数据被标准化后，协方差矩阵的特征向量代表的就是这些最大方差的方向，即主成分的方向。主成分系数就是数据在这些新坐标轴上的投影，它们是特征向量的分量。 其次，文章讨论了特征向量正负号的选择问题及其对后续研究的影响。特征向量的正负号并不唯一，选择不同的正负号会导致主成分的符号变化，但这并不影响主成分的线性独立性和解释变量的贡献度。然而，在计算综合得分或进行聚类分析时，特征向量的正负选择会影响结果的解读，因此需要统一规则来确定正负号，通常采用的原则是使第一主成分具有最大的正向变异。 再者，作者阐述了主成分载荷值的来源。主成分载荷是原始变量在主成分上的权重或贡献度，它等于原始变量与主成分的关联程度，也就是主成分系数的绝对值。通过主成分载荷，我们可以了解哪些原始变量对主成分的影响最大，进而可以解释主成分的意义。 最后，文中指出一些教材在计算主成分得分时，混淆了主成分载荷和特征向量的概念。主成分得分是原始数据在主成分空间的投影，它依赖于原始数据和主成分载荷的乘积，而不是特征向量本身。混淆这两者可能导致计算错误，影响PCA的正确应用和结果解释。 关键词：主成分分析法、特征值、特征向量、主成分载荷、主成分得分 通过对这三个问题的详细解析，文章旨在帮助学习者更深入地理解主成分分析法的内在机制，避免在实际操作中出现误解和错误，从而更好地应用PCA解决实际问题。