根轨迹法分析控制系统稳定性

"根轨迹法是经典控制理论中的重要分析工具，通过绘制系统的根轨迹，可以了解系统在增益变化时闭环极点的动态行为，从而分析系统的稳定性、响应特性等。根轨迹由开环传递函数的零点和极点决定，并随着系统增益K的变化在s平面上移动。主要根轨迹对应于K从0变化到无穷大，辅助根轨迹则对应于K从负无穷大变化到0。根轨迹分为常义根轨迹和广义根轨迹，前者以K为参变量，后者则涉及其他系统参数。" 在控制系统中，根轨迹的概念起源于1948年W.R.Evans提出的分析方法，它提供了一种图解方式来研究闭环极点如何随着开环增益或系统参数的变化而变化。根轨迹是开环传递函数的参数（通常是增益K）变化时，闭环特征方程的根在复平面上的轨迹。在本例中，系统稳定时，特征值为负实根，导致系统呈现单调衰减的响应。而当特征值变为共轭复根时，系统表现为衰减振荡。 开环传递函数G(s)和H(s)的乘积K*G(s)H(s)决定了根轨迹的形状，其中K是增益。当K=0时，根轨迹始于开环极点；当K趋于无穷大时，根轨迹终止于开环零点。根轨迹方程描述了根轨迹在s平面上的路径，通常包括实部和虚部的条件。对于给定的系统，例如例1中的系统，其闭环特征方程为K + G(s)H(s) = 0，随着K的变化，特征根S1和S2会在s平面上移动形成根轨迹。 为了绘制根轨迹，我们需要遵循一些基本法则，这些法则包括幅角条件和幅值条件，它们确保了根轨迹在s平面上的连续性和正确性。此外，还可以分析典型反馈系统的根轨迹，以更深入地理解系统的动态特性。例如，通过调整K值，可以观察系统从渐近稳定到边界稳定再到不稳定的转变。 在实际应用中，根轨迹法不仅用于判断系统的稳定性，还用于确定系统响应的时间常数、超调量、振荡频率等关键性能指标。通过根轨迹分析，工程师能够设计合适的控制器参数，优化系统的动态性能，满足工程需求。