弹性力学中非线性退化波方程的Riemann问题解构

本文主要探讨了弹性力学中一个非线性退化波方程的Riemann问题，该问题源自于在忽略粘弹条件时的弹性理论分析。方程组（1）描述了应力与速度随空间和时间变化的关系，其中变量v代表应变，u代表速度，而|v|^(γ-1)v则是应力函数，γ是一个大于1的常数。这个方程组来源于二阶偏微分方程v_tt = c(|v|^(γ-1)v)_xx，其中c为某个系数。 Riemann问题是一个经典的初始值问题，它考虑的是当一个物理系统从两种不同的初始状态在某一瞬间突然切换时的行为。对于方程组（1），由于应力函数是非凸非凹的特性，传统的激波条件不再适用，导致问题的复杂性增加。为了处理这种退化的激波条件，文章引入了广义激波概念，这是一种退化激波，能够在各种情况下构建Riemann问题的整体解。 文章的主要贡献在于构造性地解决了不同情形下的Riemann问题，即当初始条件分为v_l, u_l (x<0)和v_r, u_r (x>0)时，如何找到整个时空域内的解析解。这涉及到解决方程组（1）的特征线问题，确定特征值和特征向量，以及分析特征线的交叉和相交情况，这些都对理解非线性退化波行为至关重要。 作者孙文华和盛万成对这一问题进行了深入研究，并利用熵-熵流对的紧性问题进行了分析，这是证明方程组（3）解存在性的关键步骤。他们还提到了研究的背景，即该工作是在国家自然科学基金项目的资助下进行的，强调了这项工作的学术价值和实际意义。 这篇论文通过对非线性退化波方程的Riemann问题的细致分析，不仅深化了我们对弹性力学中非凸非凹应力函数下激波行为的理解，而且提供了一种构造整体解的方法，这对于数值模拟和理论研究具有重要的理论指导作用。