硬币找零最小硬币数：资源背包动态规划解题策略

思考题2：硬币找零是典型的背包类动态规划问题，涉及在给定有限数量和面额的硬币情况下，寻找使用最少硬币找零的方式以达到特定金额，同时使剩余的钱数最少。这个问题可以用动态规划的方法来解决。 在这个问题中，我们面对的主要挑战是确定如何利用N枚硬币（N <= 500）找零T元（T <= 10000），以确保找到的方案尽可能减少未使用的硬币。动态规划是解决这类问题的有效工具，其核心思想是将原问题分解为更小的子问题，并通过保存中间结果避免重复计算。 动态规划的状态转移方程在这里表现为F(i,j)，其中i表示硬币的数量，j表示当前目标金额。对于每枚硬币，有两种选择：使用或不使用。如果使用第i枚硬币，那么新的状态F(i,j)将取决于前i-1枚硬币能否找到恰好的组合使剩余金额为j-w[i]（w[i]为第i枚硬币的面额），加上第i枚硬币的价值c[i]。如果不使用，F(i,j)就等于不使用第i枚硬币时的状态F(i-1,j)。 对于经典0/1背包问题（满背包或容量受限，但必须装满），初始状态F(0,j)设为0，表示没有物品时价值为0；F(1,j)设为负无穷，表示至少一件物品时无法满足容量。对于带条件的背包问题（例如，必须用特定数量的某种硬币），状态转移会根据具体规则调整。 动态规划的过程是通过一个嵌套循环完成的：外层循环遍历物品，内层循环遍历可能的金额。在每个状态转移中，根据当前物品的重量和价值以及剩余的金额，判断是否应该加入该物品，然后更新最优解。最后，F(N,M)就是问题的答案，即使用最少硬币找零后的剩余金额和所需的最少硬币数。 解决此类问题的关键在于理解状态定义、状态转移方程以及如何构建状态空间。算法的时间复杂度为O(NM)，这意味着随着硬币数量和金额的增加，计算量呈线性增长。通过动态规划，我们可以高效地找到最优化的解决方案，将复杂问题转化为一系列简单的子问题来解决。