提升效率：Matlab实现n维矩阵向量化乘法

在多维矩阵乘法中，传统的逐元素乘法方法，如使用for循环，效率低下，因为它们没有充分利用现代计算机的并行处理能力。MATLAB提供了一种高级的数值计算环境，其内部大量使用了向量化操作来提高性能。向量化操作是通过利用向量和矩阵运算，从而减少或消除显式循环使用，来实现对数组或矩阵的批量操作。这在处理大型数据集时尤其有用，可以大幅提高计算速度。 在MATLAB中，向量化操作通常依赖于数组运算符和内置函数来处理数组。例如，两个矩阵相乘通常可以使用" * "运算符，而不需要编写循环。MATLAB解释器会自动将这样的操作向量化，尽可能地并行执行，以提高处理速度。 对于n维矩阵之间的乘法，MATLAB提供了一套函数和语法来支持这种高级运算。具体到本题的向量化2维乘法操作，需要理解的是如何在多维情况下进行矩阵乘法的规则。对于两个矩阵A和B进行乘法，如果A的维度是n-by-m，B的维度是m-by-p，那么结果矩阵C的维度将是n-by-p。在多维矩阵乘法中，必须确保进行乘法操作的两个矩阵的对应维度是兼容的。即，前一个矩阵的最后一个维度必须和后一个矩阵的第一个维度相同，这样才能进行矩阵乘法。 在本例中，输入矩阵1的大小为n-by-m-by-...（表示n维），输入矩阵2的大小为m-by-p-by...（同样表示n维）。输出矩阵的大小将是n-by-p-by...。这种乘法操作要求最后两个维度可以对应起来进行乘法操作，而其他的维度在结果矩阵中将保持不变。这可以通过在MATLAB中使用点乘（.*）或点积（.）运算符实现，这些运算符在矩阵运算中可以执行元素间的乘法和加法操作。 在MATLAB中，实际上没有直接的函数可以做到任意n维矩阵的乘法，但是可以使用permute函数对矩阵的维度进行重新排列，以及使用bsxfun函数进行自动扩展和元素级别的操作，实现对多维数组的运算。bsxfun函数可以在操作数的维度不匹配时，自动扩展较小的矩阵以匹配较大矩阵的维度，但此函数在新版本的MATLAB中已被更高效的替代方案取代。 此外，为了支持向量化的多维矩阵乘法，程序员必须了解如何处理数组的维度，并且要编写代码来确保操作的正确性。在本例中，代码需要接受两个具有特定维度的n维矩阵作为输入，并且输出一个经过矩阵乘法后的新n维矩阵。代码的实现将利用MATLAB的数组操作能力，以避免使用显式的循环结构。 总之，向量化矩阵乘法是提高多维矩阵运算效率的关键技术。在MATLAB这样的高级数值计算环境中，向量化操作能够简化代码，加快运算速度，并减少编程的复杂性。尽管MATLAB提供了一些内置函数来处理多维数组，但开发者仍需遵循矩阵乘法的维度规则，并注意编写与之兼容的代码。在实际应用中，合理利用这些工具可以显著提升算法性能，并为解决复杂问题提供强大的计算支持。