信息论与编码期末考试：信道容量与编码效率分析

"这是一份关于信息论与编码的试卷，主要涵盖了信息传输、信源编码、信道容量、纠错编码以及概率论相关的知识点。试卷包括了计算信道容量、信源熵、编码效率、纠错码设计及译码策略等多个方面的问题。" 这份试卷深入探讨了信息论与编码理论的核心概念，以下将对其中涉及的知识点进行详细解释： 1. **信道容量计算**：根据奈奎斯特定理，信道容量是信道在给定的信噪比（SNR）下能传输的最大信息速率。题目中提到的彩色电视图像传输，需要计算在25帧/秒的速度下，考虑每个像素的色彩和亮度组合，所需的数据传输率。然后利用SNR（信号与噪声平均功率比值）来确定信道的带宽。 2. **信源熵与信息传输速率**：信源熵是衡量信源不确定性的一个量，反映了信息的平均信息量。给定符号的概率分布，可以计算出信源的熵。信息传输速率即为信源熵乘以符号出现的频率。霍夫曼编码是一种可变长度的前缀编码方法，用于高效编码低频符号。题目要求根据给定的概率分布，构造霍夫曼编码并计算编码效率，即平均码长与熵的比值。 3. **源符号编码**：此问题涉及到前缀编码的设计，特别是当需要为满足特定条件（如含有3个或少于3个“1”）的源符号组分配码字时，需要找到最小码长。同时，要计算没有对应码字的源符号组的概率。 4. **信道容量与互信息量**：离散 memoryless channel (DMC) 的信道容量是指最大可无错误传输的信息速率。题目要求计算给定输入分布时的信道容量，以及输入信息熵和输入、输出间的平均互信息量。 5. **线性分组码与纠错**：二元（7,4）线性分组码是一种能够检测和纠正错误的编码方式。生成矩阵用于创建编码，而一致校验矩阵则用于检查错误。伴随式和陪集首在错误检测和定位中起关键作用。题目要求给出相应的矩阵，计算伴随式，并尝试进行最小距离译码。 6. **译码策略**：最小错误概率译码和最大似然译码是两种常用的译码方法。在先验等概的条件下，这两种译码策略等价。题目通过具体情境，讨论了不同区间划分下的译码错误概率和有错而不能判决的概率。 7. **概率三角不等式**：这是信息论中的一个基本性质，表明条件熵的联合减去条件熵的链式规则。它表明了信息的不确定性在引入额外信息后如何变化，是理解信息依赖关系的关键。 这份试卷全面测试了学生对信息论与编码理论的理解，包括信道理论、信源编码、纠错编码以及概率分析等多个方面的能力。