数值计算实验指导：从高斯消元到牛顿法

"这些实验题目来源于数值计算课程，由山东大学提供，涵盖了高斯消元法、Cholesky分解、迭代法、多项式最小拟合、最小二乘问题、牛顿法、三次样条插值以及数值积分等多个数值计算的核心概念。实验旨在通过实践加深学生对这些方法的理解和应用能力。" 实验1：高斯消元法 高斯消元法是线性代数中的基本算法，用于求解线性方程组。在实验1中，学生将应用这一方法解决矩阵方程，通过行变换逐步将系数矩阵转化为简化阶梯形或单位阶梯形矩阵，进而求得方程组的解。 实验2：Cholesky分解 Cholesky分解是针对对称正定矩阵的一种特殊分解，将其表示为一个下三角矩阵与自身转置的乘积。在实验2中，学生将学习如何进行Cholesky分解，这在求解线性系统和统计分析中有广泛应用。 实验3：雅可比和高斯-塞德尔迭代法 这两个迭代法是求解线性系统的数值方法。雅可比迭代法基于矩阵的对角占优性质，而高斯-塞德尔迭代法则更进一步，考虑了矩阵的邻接元素，通常收敛更快。实验中，学生将实践这两种方法，理解它们的收敛性和适用条件。 实验4：多项式最小拟合 本实验涉及曲线拟合，学生需使用最小二乘法找到最佳拟合多项式。通过不同阶数的多项式拟合数据点，分析拟合效果并讨论拟合的目的和假设。 实验5：最小二乘问题 实验5探讨了最小二乘法在处理线性方程组中的应用。学生需要求解一个无扰动的系统，然后对比扰动后的结果，分析扰动对解的影响。 实验6：牛顿法 牛顿法是一种迭代法，用于求解非线性方程。实验6要求学生应用牛顿法求解两个方程，并分析其初始收敛速度、渐近收敛速度以及所需的迭代次数，从而理解牛顿法的收敛特性。 实验7：三次自然样条插值 三次自然样条插值是光滑插值的一种形式，适合于构建连续且光滑的函数近似。实验7要求学生构建三次样条并验证其性质，包括绘制一阶和二阶导数图。 实验8：数值积分 本实验涵盖了中点、梯形和辛普森规则等数值积分方法，以及龙贝格积分，用于近似求解π。学生需要分析误差与步长的关系，探讨最优步长的选择，并实现龙贝格积分法。 实验作业提交要求： 完成每个实验后，学生需按照指定的文件命名格式，将实验结果打包上传至FTP服务器，以便教师批阅和反馈。