λ演算中无需不动点算子定义可计算函数

λ-演算，作为一种基础且强大的计算模型，与递归函数理论紧密相连。它通过引入不动点算子来增强表达能力，这些算子如Y和Y combinator在表达递归概念上起着关键作用，能够刻画递归函数的本质特征。然而，λ-演算中的常见不动点算子（如Y）存在一个显著的缺点：它们通常没有β-范式，这是一种简化表达的形式，有助于理解和证明算法的正确性。 在λ-定义可计算函数的过程中，如果过于依赖不动点算子，可能会导致生成的λ-项（λ-terms）缺乏清晰的结构，难以分析其计算过程。这是因为，虽然不动点算子能够构造出递归函数，但并不保证它们必然有β-正常形，这对于确保算法的效率和简洁性是至关重要的。 本文的主要贡献在于提出了一种创新的方法，无需借助传统的不动点算子，而是巧妙地利用了Church数字系统这一数学工具。Church数字系统提供了一种自然的方式来编码自然数，这使得作者能够直接在λ-演算中定义可计算函数，同时保持其在β-范式下的形式，从而避免了不动点算子可能导致的复杂性和不透明性。 作者通过细致的逻辑分析和构造，展示了如何仅通过β-转换规则（β-reduction），结合λ-抽象和应用等基本操作，构建出能够精确模拟所有可计算函数的λ-表达式。这种方法不仅保留了λ-演算原有的简洁性和力量，而且使得定义和理解可计算函数的过程更为直观和高效。 这篇论文在λ-演算的理论研究中开辟了一条新路径，证明了在定义可计算函数时，不动点算子并非必需，而是可以通过其他途径，特别是利用Church数字系统和β-范式，达到相同的效果。这对于深入理解λ-演算的内在机制以及推广其在计算理论中的应用具有重要意义。