马尔可夫链：离散时间随机过程的关键模型

随机过程是数学的一个重要分支，它被用来描述随时间变化的随机现象。在实际应用中，当我们研究一个随机现象，如果不考虑其样本点随着时间的变化，可以使用随机变量或随机向量进行建模，这是基础的概率论工具。然而，当需要捕捉样本随时间动态变化的特性时，随机过程就显得更为关键。 《随机过程》教程中的第10讲专门探讨了Markov过程，特别是离散时间Markov链。这种随机过程以其独特的性质在众多领域中得到广泛应用，如通信系统中的停-等ARQ（自动重传请求）系统。Markov链的核心概念包括： 1. **定义**：离散时间Markov链是一种特殊的随机过程，其状态转移仅依赖于当前状态，而与过去的历史状态无关，即满足马尔可夫性质（无后效性）。 2. **状态方程**：在离散时间Markov链中，状态转移概率完全由当前状态决定，不依赖于过去的状态序列。这可以用状态转移矩阵来表示，其中每个元素代表从一个状态转移到另一个状态的概率。 3. **状态分类**：根据不同的特征，状态可以分为吸收状态、平稳状态、周期状态等，这些分类有助于理解系统的长期行为。 4. **应用举例**：例如在通信系统中，停等ARQ的例子展示了如何用Markov链模型来模拟数据包的发送和接收过程，其中状态可能表示等待重传、已发送成功等。 5. **有限状态表示**：许多自然界的随机现象，其样本空间可以通过有限个状态来描述，形成有限状态随机过程。当这些状态之间的转移满足马尔可夫性质时，就构成了离散时间Markov链。 6. **马尔可夫性**：一个随机过程被称为马尔可夫过程，如果其未来状态的概率分布只取决于当前状态，而不依赖于过去的路径。 总结来说，随机过程，尤其是离散时间Markov链，提供了一种强大的工具，用于理解和预测具有记忆效应的随机现象，这对通信、控制系统、金融等领域中的随机决策和预测分析具有重要意义。通过将复杂的随机现象简化为有限状态的动态模型，我们能够更有效地探索其统计规律，从而支持实际问题的解决。