线性可分支持向量机的Matlab求解与对偶问题分析

"这篇资料主要介绍了支持向量机（Support Vector Machine, SVM）中的线性可分情况，特别是从数学角度解析了SVM的优化问题和Matlab编程实现。" 在机器学习领域，支持向量机是一种二分类模型，特别适用于解决线性和非线性分类问题。线性可分的支持向量机旨在找到一个超平面，使得两类数据被最大程度地分开。在这个过程中，点积运算起着关键作用，因为它决定了样本点与决策边界的距离。 线性支持向量机的问题可以转换成一个凸优化问题，通常称为硬间隔最大化问题。这个问题的目标是最小化权重向量W的范数平方，同时满足所有样本点都在正确的一侧，即对于正样本点yi=1，有w·x_i+b ≥ 1，对于负样本点yi=-1，有w·x_i+b ≤ -1。这里，w是决策超平面的法向量，b是偏置项，x_i是第i个样本的特征向量，yi是对应的类别标签。 通过拉格朗日乘子法，我们可以将原始问题转化为对偶问题。引入拉格朗日乘子α_i（0≤α_i≤C），其中C是一个惩罚参数，对偶问题的形式化表达为： maximize ∑_i α_i - 1/2 ∑_i ∑_j α_i α_j y_i y_j (x_i · x_j)， subject to ∑_i α_i y_i = 0, 0 ≤ α_i ≤ C. 在Matlab中，求解对偶问题通常使用quadprog等优化工具箱，它能够处理二次规划问题，包括SVM的对偶形式。解出α_i后，可以通过以下公式计算出权重向量w和偏置项b： w = ∑_i α_i y_i x_i, b = y_j - w · x_j 对任何满足α_j > 0的样本点j。 在实际编程中，我们需要构建目标函数和约束条件，然后调用相应的优化函数来求解α_i。一旦获得α_i，我们就可以构建和支持向量相关的决策边界，从而完成线性可分支持向量机的训练过程。 总结来说，该资料讲解了如何用Matlab实现两类线性可分的支持向量机，涉及到的关键概念包括点积运算、拉格朗日乘子法、对偶问题以及优化问题的Matlab实现。对于理解和应用SVM进行线性分类具有重要的参考价值。