超双曲与双曲函数的单调性和绝对单调性及其应用

该资源是一篇发表在"Journal of Inequalities and Applications"（2016年）的研究论文，作者是Zhen-Hang Yang和Yu-Ming Chu，主题涉及双参数双曲和三角函数的单调性和绝对单调性及其应用。 在本文中，作者深入探讨了双参数双曲函数（如双曲正弦、双曲余弦等）和双曲三角函数（如正切、余切等）的单调性与绝对单调性性质。这些性质对于理解和应用这些函数至关重要，因为它们在数学的多个领域，如微积分、复分析和特殊函数理论中都有广泛的应用。 首先，单调性（monotonicity）是指函数值随着自变量的变化而增加或减少的性质，可以分为严格单调递增和单调递减。对于双参数的函数，这意味着随着参数的变化，函数的单调性可能会有所不同。绝对单调性（absolute monotonicity）则更为严格，它要求函数及其所有导数都是非负的，这确保了函数在定义域内的全局行为。 论文中，作者利用这些性质证明了一些涉及伽马函数（gamma function）的完全单调性结果。伽马函数是一个重要的特殊函数，在统计学、物理学和工程学等领域有广泛应用。完全单调性意味着函数本身及其所有导数都是非负的，这通常与函数的积分性质密切相关。 此外，论文还涉及到误差函数（error function），这是一个在概率论和物理中常见的特殊函数，用来描述一个随机变量落在标准正态分布某一区间的概率。作者通过研究双曲和三角函数的单调性，给出了误差函数的一些边界估计，这对于理解误差函数的行为以及在实际问题中的应用具有重要意义。 论文的数学分类号包括33B10（双曲函数和三角函数的一般理论）、33B15（特殊函数的不等式）、33B20（双曲和三角函数的其他特殊问题）、26A48（函数的单调性和凸性）和26D07（函数的不等式）。关键词包括Stolarsky均值、双曲函数、三角函数、伽马函数、误差函数、完全单调性和绝对单调性。 总结来说，这篇研究论文对双参数双曲和三角函数的单调性进行了深入研究，并将这些理论应用于伽马函数和误差函数，为这两个领域的理论发展和实际应用提供了新的洞察和工具。