广义线性模型与概率分布：高斯、伯努利与泊松

"该资源主要讨论了广义线性模型和常见的概率分布，特别是与高斯分布、伯努利分布和泊松分布的关系，并提到了它们在构建模型中的应用，如线性最小二乘回归和逻辑斯谛回归。" 广义线性模型是一种灵活的统计建模方法，它涵盖了多种不同的回归分析类型。模型的基础是指数分布族，这是一种概率分布的集合，其中包括了各种常见的概率分布。在广义线性模型中，有三个关键假设：(1) 条件概率服从指数分布族；(2) 预测值的期望与特征线性相关；(3) 对数链接函数将特征与响应变量联系起来。 线性最小二乘回归是广义线性模型的一个特例，当响应变量遵循正态分布时适用。在这种情况下，模型的目标是最小化残差平方和，以找到最佳的线性拟合。另一方面，逻辑斯谛回归是当响应变量是二元（例如，成功或失败，是或否）并且遵循伯努利分布时使用的。逻辑斯谛回归通过Sigmoid函数（也称为Logistic函数）将连续的线性预测转换为介于0和1之间的概率。 高斯分布，又称为正态分布，是统计学中最常见的连续分布，具有两个参数：均值μ和标准差σ。在广义线性模型中，当误差项服从高斯分布时，可以构建线性模型，其方差通常被认为是固定的，与解释变量无关。 伯努利分布是一个只有两个可能结果（成功或失败）的概率分布，常用于二项试验。其概率质量函数只在0和1处非零，成功概率记为p，失败概率为1-p。逻辑斯谛回归模型正是建立在伯努利分布的基础上，利用Logistic函数来估计成功概率。 泊松分布描述了在一定时间或空间区域内独立事件发生的次数，其概率质量函数与事件的平均发生率λ紧密相关。它常用于计数问题，如电话呼叫次数、网站点击量等。泊松分布的均值和方差是相等的，这使得它适合表示在固定时间间隔内事件发生的频率。 通过理解这些基本的概率分布和广义线性模型的概念，我们可以构建和分析各种复杂的数据模型，解决不同领域的预测和分类问题。在机器学习和统计分析中，这些工具至关重要，特别是在处理连续变量和二分类问题时。同时，掌握泊松分布有助于理解和分析离散计数数据。