同济大学线性代数第四版习题答案解析

"这是一份关于《线性代数》(同济四版)的习题参考答案，由黄正华提供，来自武汉大学数学与统计学院。文档包含第一章至第五章的主要内容，包括行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性以及相似矩阵及二次型。特别指出，读者应关注某些习题，如第一章的5.(2),(5);7;8.(2)等，并鼓励分享好的解题方法。" 《线性代数》是数学的一个重要分支，主要研究向量、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等概念及其相互关系。在实际应用中，它广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。 1. 行列式：行列式是矩阵的一种特殊数值表示，具有一定的几何意义，例如可以用来判断矩阵是否可逆。题目中给出了三阶行列式的计算方法，例如通过对角线法则计算行列式。对角线法则指出，对于一个n阶行列式，如果所有非主对角线元素都是0，那么行列式的值等于主对角线上元素的乘积。 2. 矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本元素，矩阵的运算包括加法、减法、标量乘法以及乘法。矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。在给出的部分内容中，矩阵运算的实例未直接展示，但在实际学习中，会涉及矩阵的乘法规则和性质。 3. 矩阵的初等变换与线性方程组：初等行变换是解决线性方程组的重要工具，包括行交换、行倍乘和行加法。这些变换可以将任意线性方程组转化为阶梯形或行最简形，从而求解未知数。线性方程组的解可以通过回代法或高斯消元法等方法得到。 4. 向量组的线性相关性：向量组线性相关意味着可以找到一组非零系数，使得向量组的线性组合为零向量。线性无关则表示不存在这样的非零系数。线性相关性和秩、基础解系等概念紧密相关，用于理解和求解线性方程组。 5. 相似矩阵及二次型：相似矩阵是指可以经过相似变换（即乘以一个可逆矩阵的逆再乘以原矩阵）相互转换的矩阵，它们有相同的特征值。二次型是多项式函数的二阶形式，通过正交变换可以化为标准形，从而简化了对二次型的研究。 学习线性代数时，不仅要掌握这些基本概念和运算，还要深入理解它们之间的联系，以及如何运用它们解决实际问题。同时，通过解答习题，能进一步巩固理论知识，提升分析和解决问题的能力。对于题目中提到的特殊习题，应给予额外关注，因为它们可能包含一些关键的解题技巧或概念的深入理解。