李雅普诺夫函数在常微分方程稳定性分析中的应用

本文主要探讨了对常微分方程的稳定性分析，作者徐颖和黄佳琪来自辽宁工程技术大学，他们针对稳定性理论这一关键领域的研究进行深入剖析。稳定性理论起源于19世纪80年代俄国数学家李雅普诺夫的工作，该理论在自动控制、航空技术、生态生物和生化反应等领域具有广泛应用，强调了稳定性概念的快速进步。 文章的核心内容是通过构建李雅普诺夫函数来评判常微分方程的稳定性。李雅普诺夫函数在微分方程理论中扮演着至关重要的角色，它是分析系统行为稳定性的工具，特别适用于研究动态系统的长期行为。在文中，作者通过一个实例展示了如何利用稳定性理论判断初始值问题中的零解稳定性，通过比较不同参数下的系统响应，解释了零解的"稳定"和"不稳定"概念。 定义了零解稳定性的标准后，文章引入了李雅普诺夫函数的概念，这是一种特殊形式的函数，它能够用来衡量系统的稳定性。对于给定的微分方程，如果存在一个连续的李雅普诺夫函数，其值在所有解上都非正，并且当解趋近于零解时，该函数值趋向于零，则零解被认为是稳定的。反之，如果函数值在某些解下变为正，则表示稳定性被破坏。 本文通过对常微分方程的稳定性理论，特别是李雅普诺夫函数的运用，提供了评估和证明系统稳定性的一种方法，这对于理解和设计复杂的动态系统至关重要，特别是在自动控制工程和科学实验中，确保系统的稳定运行是不可或缺的。通过深入研究，本文不仅有助于深化对稳定性理论的理解，也为实际问题的解决提供了实用工具。