离散控制系统稳定性分析与z平面映射

"自动控制理论课件：第7章 线性离散控制系统4.ppt" 本课件主要探讨了线性离散控制系统的稳定性分析，这是自动控制理论中的一个关键概念。在连续时间系统中，系统的稳定性通常通过分析闭环特征根在s平面上的位置来判断，当所有特征根位于虚轴左侧时，系统被认为是稳定的。而在离散时间系统中，我们需要将分析转换到z平面上。 7.5.1 从s平面到z平面的映射 在离散控制系统中，我们使用z变换将连续时间信号转换为离散时间信号。令复变量s = jω（其中j是虚数单位，ω是角频率），并引入采样周期T，可以将s平面上的点映射到z平面上。具体映射关系为： s = jω → z = e^(jωT) 这个映射关系使得s平面的虚轴对应于z平面的单位圆，s平面的左半平面对应于z平面单位圆内的区域，而s平面的右半平面对应于单位圆外的区域。单位圆上的点表示ω=0，即直流成分。 7.5.2 线性定常离散系统稳定的充分必要条件 对于线性定常离散系统，其稳定性不仅取决于系统的结构，还与参数有关，并且与输入信号无关。系统稳定性的定义是：在有界输入下产生有界输出。在z域中，离散系统的闭环传递函数可以表示为： C(z)G(z) / (1 + R(z)G(z)A(z)) 其中，C(z)是控制器的z变换，G(z)是被控对象的z变换，R(z)是扰动的z变换，A(z)是系统的状态空间模型矩阵。 线性定常离散系统的稳定性可以通过分析其单位脉冲响应来判断。单位脉冲响应h(k)是系统在单位阶跃输入下的输出序列。如果单位脉冲响应随时间k趋于零，那么系统是稳定的。闭环极点z_1, z_2, ..., z_n是系统稳定性的决定因素。如果所有的闭环极点都位于单位圆内部，即|z_i| < 1，那么系统是稳定的。 离散系统的稳定性可以用z变换的性质来表达。系统的闭环特征方程D(z) = 1 + R(z)G(z)A(z)的根是z平面的极点。如果这个方程的所有根都在单位圆内，即D(z_i) = 0 对所有 |z_i| < 1 成立，那么系统是稳定的。换句话说，如果特征方程D(s)在s平面上的所有根都位于左半平面，系统也是稳定的。 总结来说，线性离散控制系统的稳定性分析涉及到z变换、单位脉冲响应和闭环特征方程的根的分布。理解这些概念对于设计和分析离散控制系统至关重要，因为它们帮助我们确保系统的动态性能和稳定性。在实际应用中，如数字信号处理和嵌入式系统控制，这些理论是基础且不可或缺的。