第2章 数值积分-11;引言求极限计算方法---- 数值积分2.92016年6月16日5时54分
第2章 数值积分讨论了如何通过数值方法来计算积分。积分的困难在于其中有一边是由曲线所定义,无法直接求解。因此,我们需要通过近似的方法来求解积分值。
第2章 数值积分介绍了几种常用的数值积分方法。其中,机械求积是最简单的方法,它将被积函数曲线上的点连接起来,构成曲边梯形,并计算其面积作为积分值。这种方法的精度相对较低,对于简单的函数可以得到较为准确的结果,但对于复杂函数则可能产生较大误差。
为了提高数值积分的准确度,牛顿-柯特斯公式被引入。该公式通过将整个区间切分为若干个子区间,分别在每个子区间上进行机械求积,并将结果加权求和,从而得到整个区间的积分值。牛顿-柯特斯公式的精度相对较高,可以计算复杂函数的积分值。
除了牛顿-柯特斯公式,龙贝格算法也是一种常用的数值积分方法。龙贝格算法通过不断递推,将积分值的精确度不断提高。该算法在计算复杂函数的积分值时具有较高的准确性。
另一种常用的数值积分方法是高斯求积公式。该公式通过选择一些特定的节点和权重,将被积函数在这些节点上进行机械求积,并将结果加权求和,从而得到积分值。高斯求积公式的精度相对较高,可以用来计算复杂函数的积分值。
在数值积分中,还有一个相关的概念是数值微分。数值微分是通过数值方法来计算函数的导数值。常用的数值微分方法包括中点方法等。
第2章 数值积分还介绍了代数精度的概念,以及代数精度与插值公式的关系。插值型的求积公式通过使用插值函数来逼近被积函数,并使用机械求积方法来计算插值函数的积分值。牛顿-柯特斯公式和高斯求积公式都属于插值型的求积公式。
在本章中,重点难点有代数精度的概念、插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式、数值积分的误差估计。这些内容需要理解并掌握,才能够正确地使用数值积分方法进行积分计算。
综上所述,第2章 数值积分介绍了几种常用的数值积分方法,包括机械求积、牛顿-柯特斯公式、龙贝格算法和高斯求积公式。这些方法可以用来计算复杂函数的积分值,并可以通过递推和加权的方式提高计算的准确度。掌握这些方法对于理解和应用数值积分具有重要意义。