数值积分的计算方法及其应用——龙贝格算法、梯形公式和辛普生公式

第2章 数值积分-11；引言求极限计算方法---- 数值积分2.92016年6月16日5时54分 第2章 数值积分讨论了如何通过数值方法来计算积分。积分的困难在于其中有一边是由曲线所定义，无法直接求解。因此，我们需要通过近似的方法来求解积分值。 第2章 数值积分介绍了几种常用的数值积分方法。其中，机械求积是最简单的方法，它将被积函数曲线上的点连接起来，构成曲边梯形，并计算其面积作为积分值。这种方法的精度相对较低，对于简单的函数可以得到较为准确的结果，但对于复杂函数则可能产生较大误差。 为了提高数值积分的准确度，牛顿-柯特斯公式被引入。该公式通过将整个区间切分为若干个子区间，分别在每个子区间上进行机械求积，并将结果加权求和，从而得到整个区间的积分值。牛顿-柯特斯公式的精度相对较高，可以计算复杂函数的积分值。 除了牛顿-柯特斯公式，龙贝格算法也是一种常用的数值积分方法。龙贝格算法通过不断递推，将积分值的精确度不断提高。该算法在计算复杂函数的积分值时具有较高的准确性。 另一种常用的数值积分方法是高斯求积公式。该公式通过选择一些特定的节点和权重，将被积函数在这些节点上进行机械求积，并将结果加权求和，从而得到积分值。高斯求积公式的精度相对较高，可以用来计算复杂函数的积分值。 在数值积分中，还有一个相关的概念是数值微分。数值微分是通过数值方法来计算函数的导数值。常用的数值微分方法包括中点方法等。 第2章 数值积分还介绍了代数精度的概念，以及代数精度与插值公式的关系。插值型的求积公式通过使用插值函数来逼近被积函数，并使用机械求积方法来计算插值函数的积分值。牛顿-柯特斯公式和高斯求积公式都属于插值型的求积公式。 在本章中，重点难点有代数精度的概念、插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式、数值积分的误差估计。这些内容需要理解并掌握，才能够正确地使用数值积分方法进行积分计算。 综上所述，第2章 数值积分介绍了几种常用的数值积分方法，包括机械求积、牛顿-柯特斯公式、龙贝格算法和高斯求积公式。这些方法可以用来计算复杂函数的积分值，并可以通过递推和加权的方式提高计算的准确度。掌握这些方法对于理解和应用数值积分具有重要意义。