最小二乘法：抛物线拟合与编程实现

最小二乘法是一种在统计学和数学优化中广泛应用的算法，它主要用于通过最小化误差平方和来找到数据的最佳拟合模型。在计算方法课程设计报告中，学生杨朋（学号1009114207，信息电子技术学院计算机科学与技术专业）进行了实验二的设计，具体任务是根据给定的数据集，利用最小二乘法来求解多项式经验公式。 在这个项目中，杨朋选取了实验数据，包括一组x值（如1到10）和对应的y值（例如1到5，再到1等），这些数据构成了一组有序对(x, y)，用于拟合一个具有m次多项式的经验公式。最小二乘法的目标是找到这个多项式，使得所有实际观测值（y值）与预测值之间的差异平方和达到最小。 该算法的基本原理是利用矩阵运算，将数据组织成一个n阶的矩阵A和一个n维向量b，其中A是由x的幂次构成的矩阵，b则是y值的向量。最小二乘法问题可以表示为求解线性方程Ax=b的解，但通常情况下，由于A不是满秩的，所以需要使用伪逆（或称为Moore-Penrose逆）来找到最接近的解，即最小化残差平方和。 实现过程中，杨朋使用Java编程语言，通过`Scanner`类获取用户输入的x和y值，然后构建系数矩阵A和误差向量d。他首先初始化了8x8的系数矩阵a，8维误差向量d，以及一个临时矩阵N。接下来，他使用嵌套循环计算矩阵元素，并根据输入的m值确定多项式的最高次幂。 为了求解系数，杨朋采用了矩阵运算，包括计算A的转置A^T，以及计算A^T*A（协方差矩阵）和A^T*b（总误差向量）。然后，他利用公式求得系数向量β（多项式的系数），即β = (A^T * A)^(-1) * A^T * b。最后，通过这些系数，他得到了经验公式的形式，这里是抛物线模型，但具体内容依赖于求解得到的系数。 总结来说，杨朋的计算方法课程设计报告展示了如何运用最小二乘法解决实际问题，包括数据预处理、矩阵操作和系数求解，以及在Java环境下实现这一算法的过程。这种方法广泛应用于各种领域，如物理建模、工程数据分析、经济预测等，是理解并应用统计学习理论的重要工具。