贝尔曼算法详解：最小花费路径求解

贝尔曼(Ford-Bellman)算法是一种用于寻找有向图中单源最短路径的动态规划方法。在给出的代码片段中，我们看到一个名为`Bellman`的结构体，它包含了几个关键组成部分： 1. `struct Edge`: 定义了一个边的数据结构，包括起始顶点`from`，结束顶点`to`以及距离`dist`。构造函数`Edge`用于初始化这些属性。 2. 常量定义： - `INF`: 一个极大的整数，通常用作无限大或表示没有路径的情况。 - `maxn`: 图的最大节点数，这里设置为2^17，是一个较大的数值，适合处理较大数据集。 3. `Bellman`结构体成员： - `n`和`m`: 分别代表图中节点的数量和边的数量。 - `edges`：存储所有边的信息的向量。 - `G[]`: 一个邻接列表，存储了每个节点的所有出边及其在`edges`中的索引。 - `inq[]`: 用于标记某个节点是否在当前路径搜索队列`Q`中。 - `d[]`: 每个节点到源节点`s`的最短路径估计值。 - `p[]`: 记录当前最短路径上的前一个节点，用于路径重建。 - `cnt[]`: 记录某个节点在路径上出现的次数，用于检测环路。 4. 函数定义： - `void init(int n)`: 初始化函数，设置节点数量并清空邻接列表和相关数据结构。 - `void AddEdge(int from, int to, int dist)`: 添加一条边到图中，将边的信息加入`edges`并向`G[from]`添加引用。 - `bool bellman_ford(int s)`: 主要算法实现，从源节点`s`开始，通过广度优先搜索（BFS）的方式寻找单源最短路径。它包含以下步骤： - 初始化所有节点的最短路径估计值为`INF`，并将`s`的值设为0。 - 使用一个队列`Q`进行广度优先遍历，对每个节点执行以下操作： a. 如果发现新的更短路径，更新目标节点的最短路径，并记录前驱节点。 b. 如果发现环路（即`cnt[]`计数超过节点数量），返回`false`，因为存在负权边或者环导致无法确定唯一最短路径。 c. 将更新过的节点重新放入队列。 - 如果遍历完成后未发现环路，返回`true`，表示找到了所有节点的单源最短路径。 这段代码展示了如何使用贝尔曼-Ford算法在给定有向图中查找源节点`s`到其他所有节点的最短路径，同时也提供了检测负权边和环路的能力。这是一种在动态规划领域中解决图论问题的重要方法，常用于网络路由、地图导航等应用场景。