局部紧群作用下的$L^2$-eta形式与热核分析

"局部紧群作用下的$L^{2}$-eta形式——苏广想，南开大学陈省身数学研究所" 在整体微分几何领域，$L^{2}$-eta形式是一个关键概念，它与Eta-不变量紧密相关。Eta-不变量最初由Atiyah、Patodi和Singer在他们的开创性工作中定义，它是一个非常重要的整体不变量，特别是在有边界的情况下用于修正指标定理。不同于局部的几何不变量，Eta-不变量是全局性质，无法通过局部公式直接计算。 这篇文章的作者苏广想，来自南开大学陈省身数学研究所，探讨了在存在局部紧的酉群作用的纤维丛上的$L^{2}$-eta形式。酉群是一类特殊的连续群，它们的元素可以看作是复向量空间中的线性变换，并保持标准内积不变。这样的群作用在纤维丛上时，可以带来丰富的几何和代数结构。 在研究中，苏广想在满足特定条件的情况下定义了eta形式。eta形式通常与Dirac算子相关，Dirac算子是微分几何中的基本算子，它在理解流形的拓扑和几何性质中起着核心作用。热核是与Dirac算子相关的一个关键工具，它是Dirac算子的热方程解的格林函数，用于分析指数定理和eta不变量。 局部紧群的行动引入了一种复杂性，因为这样的群可能具有无限的结构，这使得分析问题变得更为微妙。然而，通过这种行动，我们可以研究更广泛的几何结构，比如在非紧流形上的问题，这是传统紧流形理论所无法触及的。 关键词包括eta形式、热核和局部紧群，表明文章的重点在于这三个方面的相互作用。文章的介绍部分很可能讨论了Eta-不变量的历史背景，以及Atiyah-Patodi-Singer指标定理在边界问题中的应用，同时可能还概述了在有局部紧群作用的纤维丛上定义eta形式的方法和挑战。 这篇论文旨在对eta不变量进行新的推广和研究，特别是在更一般背景下的应用，即局部紧群作用的纤维丛。通过这种方式，作者不仅扩展了Eta-不变量的理论，也为整体微分几何和相关的分析问题提供了新的洞察。