优化理论基础：凸优化问题与算法

"最优化理论是研究如何在给定的条件下找到最佳解决方案的数学领域。本课程由凌青教授主讲，旨在介绍凸优化理论及其在机器学习中的应用。课程涵盖了从基础的凸集和凸函数概念，到无约束和有约束优化算法的深入探讨，以及对偶理论等内容。课程不设特定教材，但推荐了Stephen Boyd和Lieven Vandenberghe的《Convex Optimization》以及Yurii Nesterov的《Introductory Lectures on Convex Optimization》作为参考。课程共计54学时，每周两次，适合具有高中数学和线性代数基础的学生参加。课程目标是理解和掌握容易解决的凸优化问题，以及相关的理论和算法，以便于解决更复杂的实际问题。课程历史可以追溯到17世纪的非线性方程求根，经过19世纪的线性方程组求解，再到20世纪的线性规划、对偶理论和博弈论的发展。" 在最优化理论中，凸优化是一个重要的子领域，因为它提供了解决许多实际问题的有效方法。凸优化问题涉及到寻找在凸集上的凸函数的最小值，这类问题通常有全局最优解且更容易计算。课程首先会讲解凸集和凸函数的基本概念，包括它们的几何和代数特性。例如，一个集合是凸的，如果对于集合内的任何两点，连接这两点的线段都在集合内。而一个函数是凸的，如果其在定义域内的任意两点连线上的切线段都不低于函数本身。 接下来，课程会深入探讨凸优化问题的对偶理论，这是优化理论中的核心部分。对偶问题是从原始问题的约束和目标函数出发构建的另一个优化问题，它提供了对原问题深刻的理解，并在某些情况下简化了求解过程。对偶理论的基石是拉格朗日乘子法，它将原问题的约束转化为目标函数的一部分，通过引入拉格朗日乘子来处理。 无约束优化算法，如梯度下降法和牛顿法，是解决没有限制条件的优化问题的常用工具。这些算法利用函数的一阶或二阶导数信息来迭代地接近全局最小值。有约束优化算法则更加复杂，如惩罚函数法和 barrier 方法，它们通过引入额外项来处理约束，使得在满足约束的同时寻找最优解。 最后，课程会讨论如何应用这些理论和算法来解决机器学习问题，因为现代机器学习模型的训练往往可以转化为优化问题。例如，深度学习的反向传播算法就是一种优化过程，目标是最小化损失函数，以调整网络权重。 这门课程为学生提供了一个全面的凸优化理论框架，不仅教授理论知识，还强调了实际应用，使学生能够运用所学解决实际的最优化问题。通过学习，学生将能够理解优化问题的性质，选择合适的算法，并具备解决实际优化挑战的能力。